Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

82 Часть I. Локальный анализ
Для того, чтобы существовало ограниченное u
10
, удовлетворя-
ющее (9.6), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при
exp(±πN
√
−a
−1
it
1
) были равны нулю, т.е.
dξ
0
dθ
=
π
2
N
2
4a
ξ
0
,
d
ξ
0
dθ
=
π
2
N
2
4a
ξ
0
.
Значит, ξ
0
и ξ
0
экспоненциально стремятся к нулю и никакого влияния на
динамику системы не оказывают. Будем далее считать ξ
0
≡ ξ
0
≡ 0. Тогда
из (9.7) и из ограниченности u
2
следует, что
∂u
2k
∂t
1
= 0,
а u
1k
выражается как (k 6= 0, ±n)
u
1k
= f
2
λ
k1
X
m6=0,k,±n,k±n
ξ
m
ξ
k−m
λ
k1
− λ
m1
− λ
k−m,1
e
(λ
m1
+λ
k−m,1
)θ
,
u
10
= f
2
X
m6=0,±n
ξ
m
ξ
−m
.
Приравняем коэффициенты при ε
5/2
:
X
k6=0,±n
πKiξ
k
e
λ
k
θ
e
πKit
+ u
2
= a
0
Z
−1
cos(2πns)u
4
(t + s, t
1
, θ, τ)ds +
+ a
X
k6=0,±n
π
a
2
K
µ
π(K
2
+ N
2
)
K
− 2(K
2
− N
2
)i
ξ
k
e
λ
k1
θ
e
πiKt
+
+ a
X
k6=0,±n
aK
πi(K
2
− N
2
)
dξ
k
dτ
+ a
X
k6=±n
K
π(K
2
− N
2
)i
∂u
2k
∂θ
e
πiKt
+
+
a
π
2
N
2
∂
2
u
20
∂t
2
1
+ 2f
2
u
1
X
k6=0,±n
ξ
k
e
λ
k1
θ
e
πiKt
+ f
3
X
k6=0,±n
ξ
k
e
λ
k1
θ
e
πiKt
3
.
Для существования периодического u
4
необходимо и достаточно, чтобы
сумма всех коэффициентов при e
2πikt
(k 6= ±n) была равна нулю. Таким
образом, получаем набор дифференциальных уравнений относительно u
2k
:
∂u
2k
∂θ
+
dξ
k
dτ
e
λ
k1
θ
= λ
k2
ξ
k
e
λ
k1
θ
+ λ
k1
u
2k
−

Страницы