Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 9. Нормализация в системе с периодически... 83
−
2f
2
πi(K
2
− N
2
)
aK
X
m6=0,±n,k±n
ξ
m
u
1,k−m
e
λ
m1
θ
−
f
3
πi(K
2
− N
2
)
aK
ϕ
k
,
где ϕ
k
– это коэффициент при e
2πikt
в разложении в ряд Фурье функции
X
k6=0,±n
ξ
k
e
λ
k1
θ
e
πiKt
3
.
Для того, чтобы у этого уравнения существовало ограниченное решение,
необходимо, чтобы коэффициенты при резонансной экспоненте были рав-
ны, т.е. сумма коэффициентов при e
λ
k1
θ
должна быть равна нулю. Получа-
ем
dξ
k
dτ
= λ
k2
ξ
k
− 2f
2
2
λ
k1
ξ
k
X
m6=0,±n
ξ
m
ξ
−m
3λ
k+m,1
− λ
k1
− λ
m1
λ
k+m,1
− λ
k1
− λ
m1
−
− 3f
3
λ
k1
ξ
k
X
m6=0,±n
ξ
m
ξ
−m
.
(9.8)
Система (9.8) является нормализованной формой для исходного уравнения
(9.2). Справедлива следующая теорема
Теорема 9.2 Пусть система (9.8) имеет грубое состояние равновесия
{ξ
∗
k
}
k6=±n
. Тогда уравнение (9.2) имеет решение
x(t) =
√
ε
X
k6=0,±n
ξ
∗
k
e
ελ
k1
t
e
πiKt
(1 + o(1))
той же устойчивости.
9.3. Пусть a < 0, 2a +1 > 0, σ = π(2n −1), n – натуральное. В этом случае
уравнение (9.3) имеет набор корней стремящихся при ε → 0 к мнимой оси
λ
0
= ε
N
2
π
2
2a
+ . . . ,
λ
k
= πiK + ελ
k1
+ ε
2
λ
k2
+ . . .
Здесь k целое (k 6= 0, ±n), K = 2k − sign(k), N = 2n − 1,
λ
k1
=
π(K
2
− N
2
)
aK
i,
λ
k2
=
π
2
2a
2
K
2
(N
2
− K
2
)((2a + 1)(K
2
− N
2
) +
π(K
4
− N
4
)
a
2
K
3
i.

Страницы