Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 10. Заключение 85
Если разложить решение этой задачи в ряд по собственным функциям
линейной части (9.12), который совпадает с рядом Фурье
u(τ, y) =
X
k6=0,±n
ξ
k
(τ)e
πiKy
,
то получим, что для ξ
k
(τ) должны выполняться равенства (9.11).
Поэтому задачу (9.12)-(9.13) можно считать нормализованной формой
для исходного уравнения (9.2). Справедлива следующая теорема.
Теорема 9.3 Пусть задача (9.12)-(9.13) имеет решение u
0
(τ, y). Тогда у
уравнения (9.2) существует решение по невязке с асимптотикой
x(t) = εu
0
¡
ε
2
t, t(1 + o(1))
¢
(1 + o(1)).
§10. Заключение
В отличие от уравнения с постоянным запаздыванием, уравнение с
большим запаздыванием имеет более богатую динамику. Во-первых, возни-
кающие здесь критические случаи имеют бесконечную размерность (сразу
бесконечное число корней характеристического квазиполинома стремится
к мнимой оси). Во-вторых, нормализованная форма, которая описывает ло-
кальную динамику исходной задачи, является уравнением в частных про-
изводных, а не обыкновенным дифференциальным уравнением. В-третьих,
часто в качестве нормализованной формы мы получаем не одно уравнение,
а целое семейство краевых задач, зависящее от непрерывного положитель-
ного параметра.
Добавление второго запаздывания также вносит свою специфику. Как
было показано в §4, нормализованная форма становится комплексной, сле-
довательно, ее динамика усложняется. Кроме того, исходя из формулы
(4.12), связывающей решения исходной системы (4.4) и нормализованной
формы (4.11) видно, что возможны высокочастотные колебания.
Малый множитель перед линейным членом с большим запаздыванием,
как оказывается, сильно меняет структуру нормализованного уравнения.
Вместо параболической краевой задачи мы получаем уравнение с запазды-
ванием. Причем в зависимости от соотношения порядков большого запаз-
дывания и малого множителя запаздывание может быть малым, большим
или постоянным.

Страницы