Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

86 Часть I. Локальный анализ
Если в уравнении оба запаздывания — большие пропорциональные ве-
личины, то интересно, что результат существенно зависит от алгебраиче-
ских свойств коэффициента. Построение нормализованного уравнения воз-
можно только при рациональном коэффициенте пропорциональности.
В ситуации, когда оба запаздывания большие, разные по порядку вели-
чины, нормализованная форма еще усложняется, принимая вид параболи-
ческой задачи уже с двумя пространственными переменными. А если при
самом большом запаздывании стоит малый множитель, то мы получаем
опять краевую задачу с одним пространственным переменным, но в отли-
чие от всех остальных случаев, это уравнение содержит запаздывание по
времени и отклонение по пространственной переменной.
Введение распределенного запаздывания так же существенно усложня-
ет задачу даже в простейшем случае, когда распределение линейно. Ситу-
ация изменяется уже на этапе построения характеристического квазиполи-
нома: его вид больше похож на характеристический квазиполином уравне-
ния второго порядка с запаздыванием (см. [18]).
В случае периодически распределенного запаздывания ситуация услож-
няется еще больше. В некоторых ситуациях нормализованную форму вооб-
ще не получается свернуть к уравнению в частных производных. А когда
это удается, то полученная система содержит кроме неизвестной функции
и ее производных еще и первообразные.
Отметим, что основная часть приведенных теорем гарантировала су-
ществование у исходной системы только решения по невязке. При этом мы
не можем сделать вывод, существует ли у исходной системы точное реше-
ние с приведенной асимптотикой. Можно лишь сказать, что если решение
нормализованной формы u
∗
неустойчиво, то даже если точное решение и
существует, то оно заведомо неустойчиво. Поэтому рассматривать нужно
только устойчивые решения нормализованных форм.
В некоторых ситуациях (например, в случае, когда u
∗
является гру-
бым состоянием равновесия или периодическим решением (циклом)), од-
нако, возможно утверждать, что исходная система имеет точное решение
с приведенной асимптотикой. Доказательство соответствующих утвержде-
ний проводится по известной схеме Стокеса [44]. Примеры применения этой
схемы для уравнений такого вида см. [4, 20].

Страницы