ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
84 Часть I. Локальный анализ
Все остальные решения (9.3) находятся в левой комплексной полуплоскости
и отделены при ε → 0 от мнимой оси.
Так же как и в предыдущем пункте, сделаем подстановку
x(t) =
√
ε
P
k6=0,±n
ξ
k
(τ)e
λ
k1
θ
e
πiKt
+
√
εξ
0
(θ) + εu
1
(t, θ, τ) +
+ ε
3/2
u
2
(t, θ, τ) + ε
2
u
3
(t, θ, τ) + ε
5/2
u
4
(t, θ, τ) + . . . ,
(9.9)
где τ = ε
2
t, а θ = εt, функции u
k
(t, θ, τ) предполагаются ограниченными,
а в многоточиях собраны слагаемые более высокого порядка малости.
Действуя таким же образом, как и выше, будем собирать слагаемые при
одинаковых степенях ε. В конечном итоге получим, что для амплитуд ξ
k
(k 6= ±n) должны выполняться равенства
dξ
0
dθ
=
N
2
π
2
2a
ξ
0
. (9.10)
dξ
k
dτ
= λ
k2
ξ
k
− λ
k1
(2f
2
2
+ 3f
3
)ξ
k
X
m6=0,±n
ξ
m
ξ
−m
(9.11)
Из (9.10) следует, что ξ
0
экспоненциально стремится к нулю, а следователь-
но, никакого влияния на динамику системы не оказывает.
Пусть функция u(y) такова, что u(y) = −u(y+1). Тогда у нее существу-
ет первообразная, удовлетворяющая этому же условию. Будем обозначать
такую первообразную через J(u).
Рассмотрим следующую задачу:
∂u
∂τ
=
2a + 1
2a
2
∂
2
u
∂y
2
+
1
a
2
∂u
∂y
+
π
2
N
2
a
2
(a + 1)u −
2f
2
2
+ 3f
3
a
d
dy
u||u||
2
+
+
π
4
N
4
2a
2
J
2
(u) −
π
4
N
4
a
2
J
3
(u) −
π
2
N
2
(2f
2
2
+ 3f
3
)
a
J(u||u||
2
)
(9.12)
с граничными условиями
u(τ, y) = −u(τ, y + 1),
1
Z
0
cos(πNy)u(τ, y) dy = 0. (9.13)
Здесь обозначено
||u||
2
=
1
Z
0
u
2
(τ, y)dy.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
