Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

78 Часть I. Локальный анализ
Теорема 8.7 Пусть краевая задача (8.25)–(8.26) имеет решение u
∗
(τ, r),
тогда исходное уравнение (8.21) имеет решение по невязке вида
x
∗
(t, ε) = ε
³
e
(ω
−1
/ε+Θ(ε)+Ω+εc
1
+o(ε))it
u
∗
(ε
2
t, (1 − 2ε + o(ε))t) +
+ e
−(ω
−1
/ε+Θ(ε)+Ω+εc
1
+o(ε))it
u
∗
(ε
2
t, (1 − 2ε + o(ε))t)
´
(1 + o(1)).
§9. Нормализация в системе с периодически
распределенным запаздыванием
9.1. Рассматривается вопрос о динамике интегро-дифференциального
уравнения
˙x + x = a
0
Z
−T
cos(
σs
T
)x(t + s)ds + f(x), (9.1)
где a 6= 0 и σ некоторые параметры (не ограничивая общности, будем счи-
тать, что σ ≥ 0). Так же как и ранее, будем считать, что f(x) — достаточно
гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого, т.е. в
окрестности нуля f(x) можно представить в виде
f(x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
Наибольший интерес динамика уравнения (9.1) представляет при до-
статочно большом запаздывании. Поэтому будем считать, что T À 1. При
таком условии удобно произвести замену следующего вида:
t → tT, x(tT ) → x(t), ε = T
−1
¿ 1.
В итоге получим уравнение
ε
2
˙x + εx = a
0
Z
−1
cos(σs)x(t + s)ds + εf(x). (9.2)
Изучение динамики системы (9.2) начнем с исследования линеаризо-
ванного уравнения. Стандартным образом построим характеристическое
уравнение для его линейной части
ε
2
λ
3
+ ελ
2
+ ε
2
σ
2
λ + εσ
2
= a
£
λ − λe
−λ
cos(σ) + σe
−λ
sin(σ)
¤
, λ
2
+ σ
2
6= 0.
(9.3)

Страницы