Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 73
Характеристическое уравнение имеет набор корней, стремящихся к мнимой
оси. В случае b
1
6= −2, их асимптотика записывается как
λ
k
(ε) = iω
k
+ ε
1
a
(2 + iω
k
+ b
1
) + . . . , k ∈ Z, k 6= 0,
λ
0
=
6 + 3b
1
a
ε + . . . ,
где ω
k
такие, как были определены в пункте 2. Если b
1
= −2, то корни,
вещественная часть которых стремится к нулю, имеют вид
λ
k
(ε) = iω
k
µ
1 + ε
1
a
+ ε
2
2a + 3
a
2
− ε
2
1
a
µ
(2a + 1)ω
2
k
2a
+ b
2
+ O(ε
3
),
λ
0
(ε) = ε
2
3b
2
a
+ O(ε
3
).
Все остальные корни находятся в левой комплексной полуплоскости и от-
делены при ε → 0 от мнимой оси. Положим ω
0
= 0.
Первый случай. Пусть сначала b
1
6= −2. Тогда представим x в виде
x(t, ε) = ε
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
ω
k
it
+ ε
2
x
2
(t, τ) + . . . ,
где τ = εt – медленное время, а x
i
(t, τ) почти периодичны по первому аргу-
менту. Подставим этот ряд в исходное уравнение и соберем коэффициенты
при одинаковых степенях ε. При ε
2
получим:
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
ω
k
t
= a
X
k∈Z
µ
1
2 + iω
k
+ b
1
dξ
k
dτ
e
ω
k
t
+
0
Z
−1
a(1 + 2s)x
2
(t + s, τ)ds.
Необходимое условие существования x
2
, удовлетворяющего такому уравне-
нию
dξ
k
dτ
=
2 + iω
k
+ b
1
a
ξ
k
, k ∈ Z, k 6= 0;
dξ
0
dτ
=
6 + 3b
1
a
ξ
0
.
(8.16)
Это линейная система, все ее решения либо стремятся к нулю, либо неогра-
ниченно возрастают. Исходя из этого, получаем теорему.

Страницы