Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 69
Также, асимптотика корней характеристического квазиполинома в этом
случае может быть представлена в виде
λ
k
(ε) =
p
−(4a + 2)
2ε
i + iθ(ε) + iΩ + 2πik +
+ ε(
4a ± 2
p
−(1 + 4a)
1 + 4a
+ ic
3
− 4πik) + . . .
Суммируя все сказанное в этом пункте, можно сформулировать следу-
ющие утверждения.
Теорема 8.1 Пусть выполнено одно из условий:
a > 0,
2a + 1 > 0, |b −a| > a,
2a + 1 < 0, |b −a| >
1
2
p
−(1 + 4a).
Тогда при достаточно малых ε нулевое решение задачи (8.3) неустой-
чиво, и в его окрестности нет устойчивых режимов при любой функции
f(x).
Теорема 8.2 Пусть выполнено одно из условий:
a < 0, 2a + 1 > 0, |b − a| < a;
a < 0, 2a + 1 < 0, |b − a| <
1
2
p
−1(1 + 4a).
Тогда при достаточно малых ε нулевое решение задачи (8.3) асимп-
тотически устойчиво при любой функции f(x).
Если параметры a и b таковы, что условия ни одной из теорем не вы-
полняются, то необходимо проводить дополнительные исследования. При
этом, как было показано выше, нет собственных значений, отделенных от
мнимой оси при ε → 0, с положительной вещественной частью, и есть
бесконечное количество корней λ
k
(ε), действительная часть которых стре-
мится к нулю при ε → 0.
Разберем отдельно все варианты значений параметров, при которых
имеет место критический случай.
8.3. Исследуем динамику (8.3) в случае b близкого к нулю. Пусть сначала
a < 0, 2a + 1 > 0, b = ε
2
b
1
.
В этом случае исходное уравнение (8.3) принимает вид
ε
2
˙x + εx =
0
Z
−1
(a + ε
2
b
1
s)x(t + s)ds + εf(x). (8.11)

Страницы