Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 65
Это уравнение будет иметь действительное ненулевое решение, только если
выполняются следующие условия:
2a + 1 > 0
·
b > 0
b < 2a
или
2a + 1 < 0
·
b ≥ b
+
= a +
1
2
p
−(1 + 4a)
b ≤ b
−
= a −
1
2
p
−(1 + 4a)
(8.9)
Уравнение (8.7) будет иметь решение, только если |b − a| = |a|.
Теперь разберем ситуацию ω
−
= 0. Тогда λ = iω
0
+ ελ
1
+ . . . Главная
часть уравнения (8.4) будет иметь вид
(b + (b − a)ω
0
i)e
−iω
0
= b − aω
0
i.
Чтобы решение последнего уравнения существовало, необходимо, чтобы
выполнялось равенство модулей правой и левой частей.
b
2
+ a
2
ω
2
0
= b
2
+ (b − a)
2
ω
2
0
.
Решение ω
0
= 0 породит отличное от нуля решение (8.4) только при b = 2a.
Таким образом, необходимое условие существования ненулевого корня по-
следнего уравнения
b = 0 или b = 2a. (8.10)
Итак, корень характеристического квазиполинома (8.4) вида (8.5) при
ω
−
= 0 может существовать только при выполнении условий (8.10).
Введем в рассмотрение промежуток значений b
I =
½
(2a, 0), 2a + 1 ≥ 0
(b
−
, b
+
), 2a + 1 < 0
Назовем этот промежуток „внутренним“. Как было показано, если b ∈ I, то
не может выполняться никакой из критических случаев. Изучим подробнее
расположение корней (8.4) при таких b.
Пусть выполняется b ∈ I, где I — внутренний промежуток. Как было
показано ранее, при таком b критический случай не может иметь места.
Следовательно, если при каком-то b
0
∈ I имеет место случай устойчивости
(неустойчивости), то случай устойчивости (неустойчивости) будет иметь
место при всех b ∈ I.
Рассмотрим значение b = a. Очевидно, что такое b принадлежит I.
Тогда уравнение (8.4) принимает вид
ε
2
λ
3
+ ελ
2
= aλ + a(e
−λ
− 1).

Страницы