Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Динамика уравнения с большим и очень большим... 59
Анализируя расположение корней характеристического квазимногочлена
ελ + 1 = a exp(−λ) + ε
2
b exp
µ
−
λ
ε
2
получаем, что справедливы следующие утверждения.
Лемма 7.2 Пусть |a| > 1. Тогда нулевое решение (7.22) неустойчиво,
и в его некоторой фиксированной (не зависящей от ε) окрестности нет
устойчивых решений.
Лемма 7.3 Пусть |a| < 1. Тогда нулевое решение (7.22) асимптотиче-
ски устойчиво, все решения из некоторой малой, но не зависящей от ε
окрестности стремятся к нулю.
Как видно, в дополнительном исследовании нуждается ситуация
|a| = 1. Разберем отдельно случаи a = 1 и a = −1.
Первый случай. Пусть a = 1 + ε
2
a
1
. Тогда характеристический квази-
полином уравнения (7.22)
ελ + 1 = (1 + ε
2
a
1
) exp(−λ) + ε
2
b
0
exp
µ
−
cλ
ε
2
не имеет корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мни-
мой оси, и имеет корни вида
λ
k
= 2πk(1 − ε + ε
2
)i + ε
2
λ
2k
+ O(ε
3
).
Где λ
2k
определяется уравнением
λ
2k
= −2π
2
k
2
+ a
1
+ b
0
exp(−cλ
2k
+ 2πikθ
1
). (7.23)
Здесь θ
1
= θ
1
(ε) ∈ [0, 1) дополняет c(ε
−2
−ε
−1
+ 1) до целого числа. Отме-
тим, что (7.23) является характеристическим квазиполиномом для уравне-
ния с запаздыванием
˙y = (−2π
2
k
2
+ a
1
)y + b
0
exp(2πikθ
1
)y(t − c).
Сделаем в (7.22) подстановку
x(t, ε) = ε
2
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ ε
4
x
2
(t
1
, τ) + . . . , (7.24)

Страницы