ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56 Часть I. Локальный анализ
в ряд Фурье.
Систему (7.5) можно записать в виде одного параболического уравнения
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
¡
1 + 2a
0
cθ
1
+ a
0
c
2
θ
2
1
¢
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
(1 + cθ
1
)
∂
2
u
∂r∂s
+
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
(7.6)
с краевыми условиями
u(τ, r, s) = u(τ, r + 1, s) = u(τ, r, s + 1). (7.7)
Краевая задача (7.6)–(7.7) является нормализованной формой для ис-
ходного уравнения (7.2).
Теорема 7.1 Пусть уравнение (7.6)–(7.7) имеет решение u
∗
(τ, r, s). То-
гда при достаточно малых ε уравнение (7.2) имеет асимптотическое по
невязке решение x
∗
(t, ε). Причем
x
∗
(t, ε) = ε
2
u
∗
¡
ε
2
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t, ε(1 + o(1))t
¢
(1 + o(1)).
Второй случай. Пусть a
0
< 0, b
0
> 0. Тогда аналог нормальной формы
уравнения (7.2) имеет вид
∂u
∂τ
=
|a
0
|c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
¡
1 + |a
0
|cθ
1
+ 2|a
0
|c
2
θ
2
1
¢
∂
2
u
∂r
2
+
+
|a
0
|c
b
2
0
(1 + cθ
1
)
∂
2
u
∂r∂s
+ (a
1
+ b
1
)u +
µ
2
1 − a
0
− b
0
f
2
2
+ f
3
¶
u
3
(7.8)
u(τ, r, s) = −u(τ, r + 1, s), u(τ, r, s) = u(τ, r, s + 1). (7.9)
Для системы (7.8)–(7.9) справедлив аналог теоремы 7.1.
Теорема 7.2 Пусть уравнение (7.8)–(7.9) имеет решение u
∗
(τ, r, s). То-
гда при достаточно малых ε уравнение (7.2) имеет асимптотическое по
невязке решение x
∗
(t, ε). Причем
x
∗
(t, ε) = εu
∗
¡
ε
2
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t, ε(1 + o(1))t
¢
(1 + o(1)).
Третий случай. Пусть a
0
> 0, b
0
< 0. Тогда роль нормализованной
формы уравнения (7.2) играет уравнение
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
¡
1 + 2a
0
cθ
1
+ a
0
c
2
θ
2
1
¢
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
(1 + cθ
1
)
∂
2
u
∂r∂s
+
+(a
1
+ b
1
)u +
µ
2
1 − a
0
− b
0
f
2
2
+ f
3
¶
u
3
(7.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
