Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

54 Часть I. Локальный анализ
§7. Динамика уравнения с большим и очень
большим запаздыванием
7.1. Как и в предыдущих параграфах, рассматривается уравнение
˙x + x = ax(t − T
1
) + bx(t − T
2
) + f(x, x(t − T
1
), x(t − T
2
)). (7.1)
Здесь мы изучим случай, когда оба запаздывания являются большими, но,
в отличие от предыдущего параграфа, разными по порядку, т.е.
T
1
À 1,
T
2
T
1
À 1.
Положим
T
1
=
1
ε
, T
2
=
1
cε
2
, c > 0, 0 < ε ¿ 1.
Стандартной заменой t → tε
−1
перейдем к уравнению
ε ˙x + x = ax(t − 1) + bx
¡
t − (cε)
−1
¢
+ f
¡
x, x(t − 1), x(t − (cε)
−1
)
¢
. (7.2)
Как и ранее, для упрощения вычислений будем считать, что функция f
зависит только от первого аргумента, т.е. f(x, y, z) = f(x). Положим в
окрестности нуля f(x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . ..
Рассмотрим характеристический квазиполином линейной части уравне-
ния (7.2)
ελ + 1 = a exp(−λ) + b exp
¡
−λ(cε)
−1
¢
. (7.3)
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 7.1 Если |a|+ |b| < 1, то нулевое решение уравнения (7.2) асимп-
тотически устойчиво, все решения из некоторой малой (но не зависящей
от ε) его окрестности стремятся к нулю.
Если |a| + |b| > 1, то нулевое решение уравнения (7.2) неустойчиво,
кроме того, в некоторой его не зависящей от ε окрестности нет устой-
чивых режимов.
В оставшемся случае, когда |a|+ |b| = 1 возникает критический случай:
у уравнения (7.3) не существует корней с положительной вещественной ча-
стью, и существуют корни, вещественная часть которых стремится к нулю
при ε → 0. Рассмотрим отдельно случаи положительных и отрицательных
значений параметров a и b.

Страницы