Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

52 Часть I. Локальный анализ
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (6.10)
Как уже отмечалось ранее, все устойчивые режимы (6.9)–(6.10) являются
пространственно-однородными состояниями равновесия.
Третий случай. Пусть числа m и n нечетные и a
0
< 0, b
0
< 0, т.е.
a
0
+ b
0
= −1. Квазиполином (6.6) имеет бесконечно много чисто мнимых
корней λ
j0
= iω
j
, j = 0, ±1, ±2, . . ., а ω
j
= πn(2j + 1).
Используя построения, приведенные в §3, в качестве аналога нормаль-
ной формы получаем краевую задачу
∂u
∂τ
=
(a
0
n
2
+ b
0
m
2
)n
3
2(a
0
n + b
0
m)
3
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + (f
2
2
+ f
3
)u
3
, (6.11)
u(τ, r) = −u(τ, r + 1). (6.12)
У этой системы могут быть устойчивы не только состояния равновесия, но
и более сложные режимы (например, периодические решения — циклы).
Четвертый случай. Пусть a
0
> 0, b
0
< 0, m нечетное, n четное. В этом
случае роль нормализованной формы играет краевая задача
∂u
∂τ
=
(a
0
n
2
− b
0
m
2
)n
3
2(a
0
n − b
0
m)
3
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (6.13)
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (6.14)
Пятый случай. a
0
< 0, b
0
> 0, m четное, n нечетное. Тогда аналог
нормальной формы принимает вид
∂u
∂τ
=
(−a
0
n
2
+ b
0
m
2
)n
3
2(−a
0
n + b
0
m)
3
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + (f
2
2
+ f
3
)u
3
, (6.15)
u(τ, r) = −u(τ, r + 1). (6.16)
В остальных случаях корней системы (6.7) не существует.
Отметим, что во всех случаях нормализованные системы имеют вид
уравнения параболического типа с периодическими или антипериодиче-
скими краевыми условиями. Динамика нормализованных форм во втором
и четвертом случаях очень проста: у них могут быть устойчивы только
однородные состояния равновесия. В третьем и пятом случаях нормали-
зованные формы могут иметь более сложные, например периодические,
устойчивые решения.

Страницы