Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

50 Часть I. Локальный анализ
§6. Динамика уравнения с двумя большими
пропорциональными запаздываниями
6.1. В этом параграфе будет изучена локальная динамика системы с двумя
запаздываниями
˙x + x = ax(t − T
1
) + bx(t − T
2
) + f(x) (6.1)
в ситуации, когда параметры T
1
и T
2
пропорциональны и достаточно вели-
ки, т.е.
T
1
= T, T
2
= kT,
где k > 1, T À 1.
Заменой времени t → tT перейдем к уравнению (ε = T
−1
¿ 1)
ε ˙x + x = ax(t − 1) + bx(t −k) + f(x). (6.2)
Для исследования поведения решений в окрестности нулевого состояния
равновесия уравнения (6.2) рассмотрим характеристический квазиполином
ελ + 1 = a exp(−λ) + b exp(−λk). (6.3)
Сформулируем три простых утверждения о структуре корней этого квази-
полинома.
Лемма 6.1 Пусть |a| + |b| < 1. Тогда при достаточно малых значениях
ε все корни (6.3) имеют отрицательные вещественные части и отделе-
ны от нуля при ε → 0. В этом случае все решения (6.2) с начальными
условиями из некоторой (не зависящей от ε) окрестности нулевого со-
стояния равновесия стремятся к нулю при t → ∞.
Лемма 6.2 Пусть |a| + |b| > 1. Тогда при всех достаточно малых зна-
чениях ε характеристический многочлен (6.3) имеет корень с положи-
тельной и отделенной от нуля вещественной частью. В этом случае за-
дача о поведении решений (6.2) становится нелокальной: в любой, сколь
угодно малой окрестности нулевого состояния равновесия найдется ре-
шение, покидающее некоторый фиксированный шар с центром в нуле и
не зависящим от ε радиусом.
Лемма 6.3 Пусть
|a| + |b| = 1. (6.4)

Страницы