Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

40 Часть I. Локальный анализ
Сделаем в (5.1) стандартную замену времени t → T t. Полученное урав-
нение будет иметь вид
ε ˙x + x = ax(t − 1) + bx(t − 1 − εc) + f(x). (5.3)
Построим характеристический квазимногочлен линеаризованного уравне-
ния
ελ + 1 = exp(−λ)[a + b exp(−cελ)]. (5.4)
Для ограниченного на некоторой последовательности ε = ε
n
→ 0 корня
λ(ε) этого уравнения выполняются равенства
λ(ε
n
) → λ
0
, 1 = exp(−λ
0
)[a + b].
Тем самым, критический случай, аналогичный рассматриваемому в §3, воз-
никает при условии
a + b = 1 (5.5)
или
a + b = −1. (5.6)
Необходимо лишь исключить возможность существования неограниченных
при ε → 0 корней (5.4) с положительной вещественной частью. Это условие
состоит в выполнении неравенства
1 + abc
2
> 0. (5.7)
5.2. Рассмотрим сначала динамику (5.3) в случае (5.5). Соответствующие
построения повторяют приведенные в пункте 3 §3. Выпишем необходимые
формулы. Пусть
a = a
0
+ ε
2
a
1
, b = b
0
+ ε
2
b
1
, a
0
+ b
0
= 1, 1 + a
0
b
0
c
2
> 0.
Подстановка, аналогичная (3.10), имеет вид
x(t, ε) = ε
2
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ ε
4
x
2
(t
1
, τ) + . . . (5.8)
Здесь τ = ε
2
t, t
1
= (1 − (1 + b
0
c)ε + (1 + b
0
c)
2
ε
2
)t, а функция x
2
(t
1
, τ)
является периодической по первому аргументу с периодом 1. Производя
такие же действия, как и в §3, получим, что ξ
k
при всех k ∈ Z должны
удовлетворять системе
dξ
k
dτ
=
¡
−2π
2
k
2
b
0
c(1 − b
0
) + a
1
+ b
1
¢
ξ
k
+ f
2
ϕ
k
(ξ), (5.9)

Страницы