Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

38 Часть I. Локальный анализ
где τ = ε
p−1
t, а функции x
j
(t, τ) являются 2π/ω
0
(T )-периодическими по
первому аргументу. Подставим (4.29) в (4.17) и будем собирать коэффици-
енты при одинаковых степенях ε. На первом шаге получится верное тожде-
ство, а на втором, т.е. при ε
p
, получим уравнение для нахожднения x
2
(t, τ)
∂x
2
∂t
+ x
2
− a
0
(T )x
2
(t − T ) = f
2
³
ξ
2
(τ)e
2iω
0
ε
−1
t
+ 2|ξ(τ)|
2
+
ξ
2
(τ)e
−2iω
0
ε
−1
t
´
.
(4.30)
Из (4.30) находим функцию x
2
(t, τ)
x
2
(t, τ) = x
21
ξ
2
(τ)e
2iω
0
(T )ε
−1
t
+ x
22
|ξ(τ)|
2
+
x
21
ξ
2
(τ)e
−2iω
0
(T )ε
−1
t
,
где
x
21
(τ) =
f
2
a
0
(T )
(1 + iω
0
(T ))
2
+ a
0
(1 + 2iω
0
(T ))
,
x
22
(τ) =
2f
2
1 − a
0
(T )
.
После этого, собирая коэффициенты при ε
3/2
, приходим к уравнению
для определения функции x
3
(t, τ)
∂x
3
∂t
+ x
3
− a
0
(T )x
3
(t − T, τ) +
·
(1 + T (1 + iω
0
))
dξ
dτ
e
iω
0
ε
−1
t
+ к.с.
¸
=
= a
1
h
(1 + iω
0
)ξe
iω
0
ε
−1
t
+ к.с.
i
+ b
1
h
ξ(τ − ε
p−1
)e
iθ(ε)+iω
0
ε
−1
t
+ к.с.
i
+
+ 2f
2
x
2
(t, τ)
³
ξe
iω
0
ε
−1
t
+ ξe
−iω
0
ε
−1
t
´
+ f
3
³
ξe
iω
0
ε
−1
t
+
ξe
−iω
0
ε
−1
t
´
3
.
Условие разрешимости этого уравнения в классе 2πε/ω
0
-периодических
функций состоит в выполнении равенства
dξ
dτ
− Aξ = Bξ(τ − ε
p−1
) + σ
1
|ξ|
2
ξ, (4.31)
где
σ
1
= 2f
2
(x
21
+ x
22
) + 3f
3
.
Уравнение (4.31) играет роль нормальной формы для уравнения (4.17)
в случае (4.26). Так же как и выше, если p < 1, то это уравнение является
уравнением с большим запаздыванием, для исследования которого можно
применять методы, описанные в §3.

Страницы