Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

36 Часть I. Локальный анализ
где τ = ε
p−1
t, а функции x
2
(τ), x
3
(τ) и т.д. — ограничены при τ → ∞.
Подставим (4.24) в (4.17) и будем собирать коэффициенты при одина-
ковых степенях ε. На первом шаге приходим к верному тождеству, а на
втором — получим уравнение для нахождения ξ(τ)
(1 + T )
dξ
dτ
= a
1
ξ(τ) + b
1
ξ(τ − ε
p−1
) + f
2
ξ
2
. (4.25)
Основной результат состоит в том, что в рассматриваемом случае уравне-
ние (4.25) играет роль нормализованной формы для исходного уравнения
(4.17).
Отметим, что при p < 1 уравнение (4.25) является уравнением с боль-
шим запаздыванием. Для исследования его динамики применимы методы,
изложенные в §3.
Теорема 4.3 Пусть уравнение (4.25) имеет экспоненциально устойчи-
вое состояние равновесия ξ(τ) ≡ ξ
∗
. Тогда уравнение (4.17) имеет устой-
чивое решение
x(t, ε) = ε
p
ξ
∗
(1 + o(1)).
Пусть уравнение (4.25) имеет решение ξ
∗
(τ). Тогда и исходное уравнение
(4.17) имеет асимптотическое по невязке решение
x(t, ε) = ε
p
ξ
∗
(ε
p−1
τ(1 + o(1))(1 + o(1)).
Второй случай. Пусть
a = a
0
(T )(1 + ε
p
a
1
), (4.26)
где a
0
(T ) такое, как было определено в §1. Квазиполином
λ + 1 = a
0
(T ) exp(−λT )
имеет два чисто мнимых корня ±iω
0
, а все остальные корни лежат в левой
комплексной полуплоскости.
При условии (4.26) квазимногочлен (4.20) имеет пару комплексно со-
пряженных корней λ
±
(ε) вида
λ
+
(ε) = iω
0
(T ) + ελ
1
+ O(ε
2
), (4.27)
где λ
1
описывается выражением
λ
1
=
a
1
(iω
0
(T ) + 1)
1 + T (iω
0
(T ) + 1)
.

Страницы