Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 33
Здесь t
1
= (ωε
p/2−1
+ θ −ε
p/2
ϕ
0
(ω
0
))t, τ = ε
p
t, а функции x
j
= x
j
(tε
−1
, t
1
, τ )
периодичны по первым двум аргументам. Действуя так же, как и выше,
получим, что амплитуды ξ
k
должны удовлетворять системе
dξ
k
dτ
= λ
k2
ξ
k
+
³
3f
3
e
iΩ
+ 2f
2
£
P (2ω
0
) − b
0
e
−2iΩ
¤
−1
´
Ψ
k
(ξ). (4.14)
Здесь, как и ранее, через Ψ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(2πikt) в
разложении функции
Ã
∞
X
m=−∞
ξ
m
(τ)e
2πimt
+
∞
X
m=−∞
ξ
m
(τ)e
−2πimt
!
3
в ряд Фурье.
Система (4.14) может быть представлена в виде параболического урав-
нения
∂u
∂τ
= d
1
∂
2
u
∂r
2
+ b
1
u + du|u|
2
, u(τ, r) ≡ u
µ
τ, r +
2π
ω
, (4.15)
где
d
1
=
1
2
((ϕ
0
(ω
0
)
2
+ ρ
00
(ω
0
)b
−1
0
+ iϕ
00
(ω
0
)),
d = 3f
3
e
iΩ
+ 2f
2
[P (2ω
0
) − b
0
e
−2iΩ
]
−1
.
Теорема 4.2 Пусть краевая задача (4.15) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда
у исходного уравнения (4.4) существует асимптотическое по невязке с
точностью до O(ε
3p/2
) решение вида
x
∗
(t, ε) = ε
p/2
e
(ω
0
ε
−1
+θ
0
+Ω)ti
u
∗
(ε
p
t, (ωε
p/2−1
+ θ − ε
p/2
ϕ
0
(ω
0
))t)(1 + o(1)).
Отметим, что мы не можем сделать вывод о существовании у (4.4) точ-
ного решения с приведенной асимптотикой. Однако, если u
∗
неустойчиво,
то даже если точное решение существует, то оно неустойчиво. Таким обра-
зом, нам достаточно рассматривать только устойчивые решения (4.15).
4.3. Изучим роль малых возмущений в уравнениях с большим запаздыва-
нием. Предположим теперь, что кроме условия (4.3) выполнено
|b| ¿ 1, (4.16)

Страницы