Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

30 Часть I. Локальный анализ
Лемма 4.1 Пусть a > 1 либо a < a
0
(T ). Тогда при всех достаточно ма-
лых ε уравнение (4.5) имеет корень λ(ε), удовлетворяющий неравенству
Reλ(ε) ≥ q.
Тем самым в условии леммы 4.1 задача о динамике уравнения (4.4)
становится нелокальной: в произвольно фиксированной (но не зависящей
от ε) окрестности нулевого состояния равновесия уравнения (4.4) не мо-
жет существовать аттрактор. Поэтому ниже предполагаем, что выполнено
неравенство
a
0
(T ) ≤ a ≤ 1.
Отметим, что в случае a = a
0
(T ) или a = 1 параметр b
0
= 0. Этот случай
будет рассмотрен в следующем пункте. Здесь же будем считать, что
a
0
(T ) < a < 1. (4.6)
В §1 было показано, что условие (4.6) является необходимым и достаточ-
ным для асимптотической устойчивости решений более простого уравнения
ε ˙x + x = ax(t − εT ).
Лемма 4.2 Пусть |b| > |b
0
|. Тогда при всех достаточно малых ε суще-
ствует такой корень λ(ε) уравнения (4.5), для которого Reλ(ε) ≥ q.
Лемма 4.3 Пусть |b| < |b
0
|. Тогда при всех достаточно малых ε все
корни уравнения (4.5) удовлетворяют неравенству Reλ ≤ −q.
В условии леммы 4.2 задача о динамике уравнения (4.4) снова является
нелокальной, а в условии леммы 4.3 — тривиальной: все решения из про-
извольно фиксированной (но не зависящей от ε) окрестности нулевого ре-
шения стремятся к нулю при t → ∞.
Таким образом, в изучении нуждается ситуация, когда параметр b бли-
зок по модулю к b
0
. Мы изучим две ситуации:
b = b
0
(1 + ε
2
b
1
), (4.7)
и
b = b
0
(1 + ε
p
b
1
), 0 < p < 2. (4.8)
Пусть сначала выполнено условие (4.7). Тогда квазимногочлен (4.5)
имеет бесконечное количество корней вида
λ
k
=
ω
0
ε
i + (θ(ε) + Ω + 2πk)i + ελ
k1
+ ε
2
λ
k2
+ O(ε
3
),

Страницы