Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

26 Часть I. Локальный анализ
В левой части стоит периодическая по t
1
функция. Значит, выражение в
правой части тоже периодически зависит от t
1
. Это может быть, только ес-
ли правая часть равна нулю. Т.е. для всех целых k выполняются равенства
dξ
k
dτ
=
µ
−
π
2
(2k −1)
2
2
+ a
1
ξ
k
+ (f
2
2
+ f
3
)ϕ
k
(ξ), (3.20)
где через ϕ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(π(2k −1)it) в разложении
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
!
3
в ряд Фурье.
Систему (3.20) можно представить в виде одного параболического урав-
нения
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + (f
2
2
+ f
3
)u
3
(3.21)
с антипериодическими краевыми условиями
u(τ, r) = −u(τ, r + 1). (3.22)
Если решения (3.21)–(3.22) разложить в ряд по собственным функциям
линеаризованной правой части
u(τ, r) =
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)r
,
то для определения амплитуд ξ
k
получим систему (3.20). Поэтому краевую
задачу (3.21)–(3.22) можно считать нормализованной формой уравнения
(3.2) при условии (3.18).
У этой краевой задачи, в отличие от (3.12)–(3.13), могут быть устойчи-
вые нестационарные периодические решения.
Будем говорить, что x
∗
(t, ε) является решением по невязке уравнения
L(x, ε) = 0 с точностью ε
n
, если выполняется L(x
∗
(t, ε), ε) = o(ε
n
).
Теорема 3.3 Пусть краевая задача (3.21)–(3.22) имеет решение u
∗
(τ, r).
Тогда уравнение (3.2) имеет асимптотическое по невязке решение
x
∗
(t, ε) = εu(ε
2
t, t(1 −ε + ε
2
))(1 + o(1)).

Страницы