Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с большим запаздыванием 23
Так как x
1
(t
1
, τ) периодична, то x
1
(t
1
, τ) = x(t
1
− 1, τ), следовательно, это
уравнение принимает вид
0 =
∞
X
k=−∞
[(a
1
− 2π
2
k
2
)ξ
k
(τ) −
dξ
k
dτ
]e
2πikt
1
+ f
2
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
!
2
.
Откуда следует, что для каждого k ∈ Z выполняется
dξ
k
dτ
= [a
1
− 2π
2
k
2
]ξ
k
+ f
2
ϕ
k
(ξ). (3.11)
Здесь через ϕ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(2πikt) в разложении
функции
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
e
2πikt
!
2
в ряд Фурье.
Систему (3.11) можно записать в виде одного параболического уравне-
ния
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + f
2
u
2
(3.12)
с периодическим краевым условием
u(τ, r + 1) = u(τ, r). (3.13)
Действительно, если разложить решение задачи (3.12)—(3.13) в ряд по соб-
ственным функциям линеаризованной правой части, который совпадает с
рядом Фурье,
u(τ, r) =
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ) exp(2πikr),
то для определения амплитуд ξ
k
(τ) получим в точности систему (3.11).
Поэтому задача (3.12)—(3.13) играет роль нормализованной формы для
исходного уравнения (3.2). Как известно, устойчивыми решениями такой
краевой задачи могут быть только пространственно-однородные состояния
равновесия, которым, в силу формулы (3.10), будут соответствовать устой-
чивые решения (3.2), близкие к постоянным. В силу этого, динамика (3.2)
в случае (3.9) описывается следующей теоремой.

Страницы