ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 3. Динамика уравнения с большим запаздыванием 19
Утверждение 3.1 Пусть существует такое M > 0, что при любом
сколь угодно малом ε > 0 найдется корень характеристического полино-
ма (3.3) λ(ε), такой что Re λ(ε) > M. Тогда существует ε
0
> 0, такое
что при ε ∈ (0, ε
0
) нулевое решение уравнения (3.2) неустойчиво, более
того, в некоторой его достаточно малой (но не зависящей от ε) окрест-
ности нет устойчивых режимов.
Утверждение 3.2 Пусть существует такое M > 0, что при каждом
достаточно малом ε > 0 все корни характеристического квазиполинома
(3.3) удовлетворяют условию Re λ < −M. Тогда при малых ε нулевое
решение исходного уравнения (3.2) асимптотически устойчиво.
Таким образом, необходимо проводить дополнительные исследования
поведения решений уравнения (3.2) только в том случае, когда характери-
стический квазиполином (3.3) имеет корень λ(ε) такой, что Re λ(ε) → 0,
и не имеет корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от
мнимой оси при ε → 0.
3.2. Исследуем расположение корней квазиполинома (3.3) при малых зна-
чениях ε в зависимости от параметра a.
При a = 0 все корни находятся в левой комплексной полуплоскости.
Значит, при близких к нулю значениях a все корни (3.3) удовлетворяют
условиям утверждения 3.2. Пусть это свойство впервые нарушается при
a = a
0
< 0 или a = a
0
> 0. В силу непрерывной зависимости корней (3.3)
от a, при таком значении параметра у характеристического квазиполинома
существует корень, действительная часть которого стремится к нулю при
ε → 0. Представим этот корень в виде асимптотического ряда
λ(ε) = i(ω
−
ε
−γ
+ ω
0
(ε)) + o(1),
где γ > 0, а ω
0
ограничено при малых ε. Подставим это в (3.3) и будем
последовательно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях
ε.
Если γ > 1, то старшей степенью будет ε
1−γ
, а главная часть уравнения
примет вид
iω
−
= 0,
откуда ω
−
= 0.
Если γ = 1, то при ε
0
получим равенство
iω
−
+ 1
a
= exp(−iω
−
ε
−γ
− iω
0
(ε)).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
