Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Бифуркация Андронова-Хопфа 15
Теорема 2.1 Если Re λ
1
< 0, Re d < 0, тогда все решения уравнения
(2.9) стремятся к нулю при τ → ∞.
Если Re λ
1
< 0 , Re d > 0, тогда решения уравнения (2.9) с начальным
условием |ρ(0)| < ρ
∗
стремятся к нулю, а все остальные неограниченно
возрастают при τ → ∞.
Если Re λ
1
> 0 , Re d > 0, тогда все решения уравнения (2.9) неогра-
ниченно возрастают при τ → ∞.
Если Re λ
1
> 0 , Re d < 0, тогда все решения уравнения (2.9) стре-
мятся либо к ρ
∗
, либо к −ρ
∗
при τ → ∞.
В силу теоремы 2.1 и равенства (2.7), которое связывает решения нор-
мальной формы и решения исходного уравнения на экспоненциально устой-
чивом интегральном многообразии C
2
, верны следующие утверждения.
Теорема 2.2 Если Re λ
1
< 0, Re d < 0, то при достаточно малых зна-
чениях ε решения уравнения (2.2) из некоторой окрестности нуля стре-
мятся к нулю при t → ∞.
Теорема 2.3 Если Re λ
1
< 0 , Re d > 0, то при достаточно малых значе-
ниях ε нулевое решение уравнения (2.2) асимптотически устойчиво, кро-
ме того, в окрестности нуля существует неустойчивый цикл с асимп-
тотикой x
∗
(t) =
√
ερ
∗
cos ϕ(εt(1 + o(1)))(1 + o(1)).
Теорема 2.4 Если Re λ
1
> 0 , Re d > 0, то при малых ε нулевое реше-
ние уравнения (2.2) неустойчиво, и в его некоторой (не зависящей от ε)
окрестности нет устойчивых режимов.
Теорема 2.5 Если Re λ
1
> 0 , Re d < 0, тогда все решения уравнения
(2.2) из некоторой окрестности нуля стремятся к устойчивому циклу
x
∗
(t) =
√
ερ
∗
cos ϕ(εt(1 + o(1)))(1 + o(1)).
Теоремы 2.2–2.5 полностью описывают локальную динамику уравнения
(2.2) в окрестности нуля при малых ε. Фазовый портрет системы (2.2) на
многообразии C
2
показан на рисунке 2.
2.3. Пусть теперь
a = a
0
(T
0
) > 0.
Тогда, как было показано в §1,
a
0
(T
0
) = 1.

Страницы