ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СИГНАЛОВ
1.1. Спектральные характеристики периодических
сигналов
1.1.1. Основные понятия и соотношения
Условие периодичности — x(t) = x(t+mT), где T — период, m - нату-
ральное число, m= 1, 2, ....
Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригономет-
рическим рядом Фурье
∑∑
∞
=
∞
=
ϕ+ω+=ω+ω+=
1k
k1k0
1k
1k1k0
)tkcos(Aa)tksinbtkcosa(a)t(x (1.1)
где
ω
π
1
2
=
T
— угловая частота 1-й или основной гармоники;
aa
kk0
, и b
—
коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:
a
T
xtdt
t
tT
н
н
0
1
=
+
∫
() ; a
T
xt k tdt
k
t
tT
н
н
=
+
∫
2
1
()cos ω ; b
T
xt k tdt
k
t
tT
н
н
=
+
∫
2
1
()sin ω ;
Aab
kkk
=+
22
; ϕ
k
k
k
arctg
b
a
k=− =, , , ...123 ,
где
A
k
— амплитуда k-й гармоники;
ϕ
k
— фаза k-й гармоники;
a
0
—
среднее значение сигнала (постоянная составляющая);
k
k
ω
ω
1
=
— угло-
вая частота k-й гармоники;
t
н
— момент времени, соответствующий на-
чалу периода.
Зависимости
A
k
и
ϕ
k
от частоты
ω
k
— это спектры амплитуд и фаз
соответственно.
В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье
∑
∞
−∞=
ω
=
k
tjk
k
1
eA
2
1
)t(x
&
. (1.2)
Коэффициенты
k
A
&
ряда (1.2) вычисляются по формуле
∫
+
ω−
=
Tt
t
tjk
k
н
н
1
dte)t(x
T
2
A
&
. (1.3)
