Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6) Пусть r — от но ше ние эк ви ва лент но сти на мно же ст ве X. То гда:
а) ес ли x Î X, то x Î [ x ];
б) ес ли x, y Î X и xry, то [ x ] = [ y ] (то есть класс эк ви ва лент но сти
по ро ж да ет ся лю бым сво им эле мен том).
7) Раз бие ни ем мно же ст ва X на зы ва ет ся со во куп ность по пар но не -
пе ре се каю щих ся под мно жеств X та ких, что ка ж дый эле мент мно же ст ва
X принад лежит од но му и толь ко од но му из этих под мно жеств.
При мер: а) X = {1, 2, 3, 4, 5}. То гда раз бие ние мно же ст ва X: {{1,2},
{3,5}, {4}}.
б) пусть X — мно же ст во сту ден тов ин сти ту та. То гда разби ение X —
это, на при мер, со во куп ность сту ден че ских групп.
8) Вся кое раз бие ние мно же ст ва X оп ре де ля ет на X от но ше ние
эквива лентности r (xry) то гда и толь ко то гда, ко гда x и y при над ле жат
од но му под мно же ст ву раз бие ния.
9) Вся кое от но ше ние эк ви ва лент но сти r оп ре де ля ет раз бие ние
мно же ст ва X на клас сы эк ви ва лент но сти от но си тель но это го от но ше ния.
10) Со во куп ность клас сов эк ви ва лент но сти эле мен тов мно же ст ва
X по от но ше нию эк ви ва лент но сти r на зы ва ет ся фак тор-мно же ст вом X
по отноше нию r и обо зна ча ет ся: X / r.
11) От но ше ние r на мно же ст ве X на зы ва ет ся ан ти сим мет рич ным,
ес ли для лю бых x, y Î X из xry и yrx сле ду ет x = y.
Б. От но ше ние по ряд ка
1) Реф лек сив ное, ан ти сим мет рич ное и тран зи тив ное от но ше ние
на зы ва ет ся от но ше ни ем час тич но го по ряд ка на мно же ст ве X и обо зна ча -
ет ся сим волом: .
При мер: а) От но ше ние x y на мно же ст ве дей ст ви тель ных чи сел
есть от но ше ние час тич но го по ряд ка;
27
     6) Пусть r — отношение эквивалентности на множестве X. Тогда:
     а) если x Î X, то x Î [ x ];
     б) если x, y Î X и xry, то [ x ] = [ y ] (то есть класс эквивалентности
порождается любым своим элементом).


       7) Разбиением множества X называется совокупность попарно не-
пересекающихся подмножеств X таких, что каждый элемент множества
X принадлежит одному и только одному из этих подмножеств.
       Пример: а) X = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда разбиение множества X: {{1,2},
{3,5}, {4}}.
       б) пусть X — множество студентов института. Тогда разбиение X —
это, например, совокупность студенческих групп.

     8) Всякое разбиение множества X определяет на X отношение
эквивалентности r (xry) тогда и только тогда, когда x и y принадлежат
одному подмножеству разбиения.


    9) Всякое отношение эквивалентности r определяет разбиение
множества X на классы эквивалентности относительно этого отношения.


      10) Совокупность классов эквивалентности элементов множества
X по отношению эквивалентности r называется фактор-множеством X
по отношению r и обозначается: X / r.


      11) Отношение r на множестве X называется антисимметричным,
если для любых x, y Î X из xry и yrx следует x = y.


      Б. Отношение порядка
     1) Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
называется отношением частичного порядка на множестве X и обознача-
ется символом: ¶.
      Пример: а) Отношение x ¶ y на множестве действительных чисел
есть отношение частичного порядка;
                                                                         27

Страницы