Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ри с. 1.1.4 Инъ ек тив ная (а), сюръ ек тив ная (б) и би ек тив ная (в) функции
16) Ком по зи ция двух функ ций f и g есть от но ше ние g o f = {<x,z> |
су ще ст ву ет та кое y, что xfy и ygz}.
Ком по зи ция двух функ ций есть функ ция. При этом, ес ли f : X ® Y;
g:Y ® Z, то g o f : X ® Z.
Дей ст ви тель но, ес ли <x,y> Î g o f и <x,z> Î g o f, то су ще ст ву ет та -
кое u, что xfu, ugy, и су ще ст ву ет та кое v, что xfv и vgz. По сколь ку f —
функ ция, то u = v. По сколь ку g — функ ция, то y = z, и, сле до ва тель но,
g o f — функ ция.
Ком по зи ция двух би ек тив ных функ ций есть би ек тив ная функ -
ция.
17) То ж де ст вен ным ото бра же ни ем мно же ст ва X в се бя на зы ва ет ся
ото бражение e
x
: X ® X та кое, что для лю бо го x Î X, e
x
(x) = x. То гда, ес ли
f : X®Y, то e
y
o f = f, f o e
x
= f.
18) f
-1
на зы ва ет ся об рат ной функ ци ей (об рат ным ото бра же ни ем).
Ото бра же ние f : X ® Y име ет об рат ное ото бра же ние f
-1
:Y ® X то гда и
толь ко то гда, ко гда f — би ек ция.
Для то го, что бы об рат ное от но ше ние f
-1
бы ло функ ци ей, дос та -
точ но инъ ек тив но сти функ ции f.
19) Свой ст ва инъ ек тив ных функ ций f и g:
a) (f
-1
)
-1
= f;
б) (g o f)
-1
= f
-1
o g
-1
.
25
      Рис. 1.1.4 Инъективная (а), сюръективная (б) и биективная (в) функции

       16) Композиция двух функций f и g есть отношение g o f = { |
существует такое y, что xfy и ygz}.
       Композиция двух функций есть функция. При этом, если f : X ® Y;
g:Y ® Z, то g o f : X ® Z.
       Действительно, если  Î g o f и  Î g o f, то существует та-
кое u, что xfu, ugy, и существует такое v, что xfv и vgz. Поскольку f —
функция, то u = v. Поскольку g — функция, то y = z, и, следовательно,
g o f — функция.
       Композиция двух биективных функций есть биективная функ-
ция.

      17) Тождественным отображением множества X в себя называется
отображение ex: X ® X такое, что для любого x Î X, ex(x) = x. Тогда, если
f : X®Y, то ey o f = f, f o ex = f.
      18) f -1 называется обратной функцией (обратным отображением).
Отображение f : X ® Y имеет обратное отображение f -1:Y ® X тогда и
только тогда, когда f — биекция.
      Для того, чтобы обратное отношение f -1 было функцией, доста-
точно инъективности функции f.

      19) Свойства инъективных функций f и g:
      a) (f -1)-1 = f;
      б) (g o f)-1 = f -1 o g-1.
                                                                              25

Страницы