Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3) Об ла стью оп ре де ле ния би нар но го от но ше ния r на зы ва ет ся
мно же ст во D(r) = {x | су ще ст ву ет та кое y, что xry}.
Об ла стью зна че ний би нар но го от но ше ния r на зы ва ет ся мно же ст -
во R(r) = {y | су ще ст ву ет та кое x, что xry}.
4) Пря мым про из ве де ни ем мно жеств X и Y на зы ва ет ся со во куп ность
всех упо ря до чен ных пар <x, y> та ких, что x Î X и y Î Y. Обо зна ча ет ся
пря мое про из ве де ние мно жеств X и Y че рез X ´ Y.
Ка ж дое от но ше ние r есть под мно же ст во пря мо го про из ве де ния
не ко то рых мно жеств X и Y та ких, что D(r) Í X и R(r) Í Y. Ес ли X =Y, то
го во рят, что r есть от но ше ние на мно же ст ве X.
При мер:
a) Пусть X = {1, 2, 3}; Y = {0, 1}, то гда
X ´Y = {<1,0>, <1,1>, <2,0>, <2,1>, <3,0>, <3,1> },
Y ´ X = {<0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,1>, <1,2>, <1,3>} при этом X ´ Y ¹
¹ Y ´ X.
б) Пусть X — мно же ст во то чек от рез ка [0, 1], а Y — мно же ст во то -
чек от рез ка [1, 2]. То гда X ´ Y — мно же ст во то чек квад ра та [0,1] ´ [1,2]
с вер ши на ми (0,1); (0,2); (1,1); (1,2).
5) Для би нар ных от но ше ний обыч ным об ра зом оп ре де ле ны опе ра -
ции объ е ди не ния, пе ре се че ния и так да лее.
6) Об рат ным от но ше ни ем для r на зы ва ет ся от но ше ние
r
–1
= {<x, y> | <y, x> Î r}.
7) Ком по зи ци ей от но ше ний r
1
и r
2
на зы ва ет ся от но ше ние
r
2
o r
1
= {<x, z> | су ще ст ву ет та кое y, что <x, y> Î r
1
и <y, z> Î r
2
}.
8) Свой ст ва:
a) (r
–1
)
–1
= r;
б)
( )r o r r o r
1
-1
2
1
1
2
1- -
=
.
9) Би нар ное от но ше ние f на зы ва ет ся функ ци ей, ес ли из <x, y> Î f
и <x, z> Î f, сле ду ет, что y = z.
23
      3) Областью определения бинарного отношения r называется
множество D(r) = {x | существует такое y, что xry}.
      Областью значений бинарного отношения r называется множест-
во R(r) = {y | существует такое x, что xry}.

      4) Прямым произведением множеств X и Y называется совокупность
всех упорядоченных пар  таких, что x Î X и y Î Y. Обозначается
прямое произведение множеств X и Y через X ´ Y.
      Каждое отношение r есть подмножество прямого произведения
некоторых множеств X и Y таких, что D(r) Í X и R(r) Í Y. Если X =Y, то
говорят, что r есть отношение на множестве X.
      Пример:
      a) Пусть X = {1, 2, 3}; Y = {0, 1}, тогда
      X ´Y = {<1,0>, <1,1>, <2,0>, <2,1>, <3,0>, <3,1> },
      Y ´ X = {<0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,1>, <1,2>, <1,3>} при этом X ´ Y ¹
¹ Y ´ X.
      б) Пусть X — множество точек отрезка [0, 1], а Y — множество то-
чек отрезка [1, 2]. Тогда X ´ Y — множество точек квадрата [0,1] ´ [1,2]
с вершинами (0,1); (0,2); (1,1); (1,2).

     5) Для бинарных отношений обычным образом определены опера-
ции объединения, пересечения и так далее.

      6) Обратным отношением для r называется отношение
                                  –1
                                r      = { |  Î r}.

      7) Композицией отношений r1 и r2 называется отношение
      r2 o r1 = { | существует такое y, что  Î r1 и  Î r2}.

      8) Свойства:
      a) (r–1 )–1 = r;
      б) (r 2 o r1 ) -1 = r1-1 o r -2 1 .

       9) Бинарное отношение f называется функцией, если из  Î f
и  Î f, следует, что y = z.
                                                                           23

Страницы