Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10) По сколь ку функ ции яв ля ют ся би нар ны ми от но ше ния ми, а те
яв ля ют ся мно же ст ва ми, то к ним при ме ним прин цип объ ём но сти, то
есть: две функ ции f и g рав ны, ес ли они со сто ят из од них и тех же эле -
мен тов. Об ласть оп ре де ле ния функ ции обо зна ча ет ся D
f
, а об ласть её
зна че ний — R
f
.
11) Ес ли D
f
= X и R
f
Í Y, то го во рят, что функ ция f за да на на мно -
же ст ве X со зна че ния ми во мно же ст ве Y и осу ще ст в ля ет ото бра же ние
мно же ст ва X во мно же ст во Y (или ус та нав ли ва ет со от вет ст вие ме ж ду
множес твами X и Y). Это ото бра же ние обо зна ча ет ся: f : X ® Y.
При мер: а) от но ше ние {<1,2>, <2,3>, <ð,D>} — это функ ция;
б) от но ше ние {<1,2>, <1,3>, <2,4>} — не яв ля ет ся функ ци ей;
в) от но ше ние { x
2
+ 2x+1 | x — дей ст ви тель ное чис ло} — это функ -
ция, ко то рую обыч но обо зна ча ют y = x
2
+ 2x + 1.
12) На зо вём f n-ме ст ной функ ци ей из X в Y, ес ли f : X
n
® Y. То гда
пи шем y = f(x
1
,..., x
n
) и го во рим, что y — зна че ние функ ции при зна че ни -
ях ар гу мен тов x
1
,..., x
n
.
13) Пусть f : X®Y. Функ ция (ото бра же ние) f на зы ва ет ся инъ ек -
тив ной, ес ли для лю бых x
1
; x
2
; y из y = f (x
1
) и y = f (x
2
) сле ду ет, что x
1
= x
2
(<x
1
,y> Î f и <x
2
,y> Î f, то x
1
= x
2
).
14) Функ ция (ото бра же ние) f на зы ва ет ся сюръ ек тив ной, ес ли для
лю бо го эле мен та y Î Y су ще ст ву ет эле мент x Î X та кой, что y = f (x).
15) Функ ция (ото бра же ние) f на зы ва ет ся би ек тив ной, ес ли f од но -
вре мен но сюръ ек тив на и инъ ек тив на. Ес ли су ще ст ву ет би ек тив ная
функ ция f : X®Y, то го во рят, что f осу ще ст в ля ет вза им но од но знач ное со -
от вет ст вие ме ж ду мно же ст ва ми X и Y.
При мер: Рас смот рим функ ции, ото бра жаю щие мно же ст во дей ст -
ви тель ных чи сел R во мно же ст во дей ст ви тель ных чи сел:
f
i
: R ® R, i = 1, 2, 3.
а) функ ция f
1
(x) = e
x
— инъ ек тив на, но не сюръ ек тив на;
б) функ ция f
2
(x) = x
2
— сюръ ек тив на, но не инъ ек тив на;
в) функ ция f
3
(x) = 2x+1– би ек тив на (рис. 1.1.4).
24
       10) Поскольку функции являются бинарными отношениями, а те
являются множествами, то к ним применим принцип объёмности, то
есть: две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же эле-
ментов. Область определения функции обозначается Df, а область её
значений — Rf.

      11) Если Df = X и Rf Í Y, то говорят, что функция f задана на мно-
жестве X со значениями во множестве Y и осуществляет отображение
множества X во множество Y (или устанавливает соответствие между
множествами X и Y). Это отображение обозначается: f : X ® Y.
      Пример: а) отношение {<1,2>, <2,3>, <ð,D>} — это функция;
      б) отношение {<1,2>, <1,3>, <2,4>} — не является функцией;
      в) отношение { x2 + 2x+1 | x — действительное число} — это функ-
ция, которую обычно обозначают y = x2 + 2x + 1.

      12) Назовём f n-местной функцией из X в Y, если f : X n ® Y. Тогда
пишем y = f(x1,..., xn) и говорим, что y — значение функции при значени-
ях аргументов x1,..., xn.

      13) Пусть f : X®Y. Функция (отображение) f называется инъек-
тивной, если для любых x1; x2; y из y = f (x1) и y = f (x2) следует, что x1 = x2
( Î f и  Î f, то x1 = x2).

     14) Функция (отображение) f называется сюръективной, если для
любого элемента y Î Y существует элемент x Î X такой, что y = f (x).

     15) Функция (отображение) f называется биективной, если f одно-
временно сюръективна и инъективна. Если существует биективная
функция f : X®Y, то говорят, что f осуществляет взаимнооднозначное со-
ответствие между множествами X и Y.

     Пример: Рассмотрим функции, отображающие множество дейст-
вительных чисел R во множество действительных чисел:
     fi : R ® R, i = 1, 2, 3.
     а) функция f1(x) = ex — инъективна, но не сюръективна;
     б) функция f2(x) = x2 — сюръективна, но не инъективна;
     в) функция f3(x) = 2x+1– биективна (рис. 1.1.4).
24

Страницы