Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
1.5.1 Ос нов ные по ня тия
Од ной из глав ных за дач ма те ма ти че ской ло ги ки яв ля ет ся ана лиз
ос но ва ний ма те ма ти ки. Ма те ма ти че ская ло ги ка на шла так же свое при -
ло же ние и в во про сах кон ст рук ции ЭВМ. С дру гой сто ро ны, ма те ма ти -
че ская ло ги ка — со вре мен ный вид фор маль ной логики, изучающей
различные умозаключения.
При мер:
а) «Все лю ди смерт ны. Со крат — че ло век. Сле до ва тель но, Со крат
смер тен».
б) «Все гра ж да не Рос сии име ют пра во на об ра зо ва ние. Ива нов —
гра ж да нин Рос сии. Сле до ва тель но, Ива нов име ет пра во на об ра зо ва -
ние».
Лег ко ви деть, что вез де ис поль зо ва на од на и так же фор маль ная
схе ма: «Все M суть P, S есть M. Сле до ва тель но, S есть P». Умо зак лю че -
ния со став лен ные по этой схе ме схо ла сты сред них ве ков на зы ва ли «сил -
ло гиз ма ми пер вой фи гу ры по мо ду су Barbara». На чи ная с Бу ля (ко нец
XIX в.), ко то рый ис поль зо вал идею Лейб ни ца вве сти в ло ги ку ма те ма ти -
че скую сим во ли ку, ло ги ка пре вра ти лась в ма те ма ти че скую нау ку. Ос -
нов ная цель — све сти опе ра ции с ло ги че ски ми за клю че ния ми к
формальным действиям с символами. Приведем основные понятия
математической логики.
1) Объ ек ты с дву мя воз мож ны ми со стоя ния ми ха рак те ри зу ют ся
бу ле вы ми пе ре мен ны ми. Их обо зна ча ют сим во ла ми: 0 и 1, или бу к ва ми:
Л (лож но) и И (ис тин но). Мно же ст во {И, Л} на зы ва ет ся мно же ст вом ис -
тин но ст ных значений.
2) Вы ска зы ва ни ем на зы ва ет ся язы ко вое пред ло же ние, о ко то ром
име ет смысл го во рить, что оно ис тин но или ложно.
При мер: «2 × 2 = 4», «5 — про стое чис ло» — это ис тин ные вы ска зы -
ва ния. «Вол га впа да ет в Чер ное мо ре» — лож ное высказывание.
Пред ло же ния: «x + y = 4» и «Ко то рый час?», «Се го дня хо ро шая
по го да», «Го род сто ит на бе ре гу ре ки» — не яв ля ют ся вы ска зы ва ния ми,
вви ду их не дос та точ ной уточненности.
3) С по мо щью сою зов «и», «или», «не», из не сколь ких про стых
вы ска зы ва ний мож но со ста вить слож ное (со став ное) высказывание.
26
     1.5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

     1.5.1 Основные понятия

     Одной из главных задач математической логики является анализ
оснований математики. Математическая логика нашла также свое при-
ложение и в вопросах конструкции ЭВМ. С другой стороны, математи-
ческая логика — современный вид формальной логики, изучающей
различные умозаключения.

      Пример:
      а) «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ
смертен».
      б) «Все граждане России имеют право на образование. Иванов —
гражданин России. Следовательно, Иванов имеет право на образова-
ние».
      Легко видеть, что везде использована одна и также формальная
схема: «Все M суть P, S есть M. Следовательно, S есть P». Умозаключе-
ния составленные по этой схеме схоласты средних веков называли «сил-
логизмами первой фигуры по модусу Barbara». Начиная с Буля (конец
XIX в.), который использовал идею Лейбница ввести в логику математи-
ческую символику, логика превратилась в математическую науку. Ос-
новная цель — свести операции с логическими заключениями к
формальным действиям с символами. Приведем основные понятия
математической логики.
      1) Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются
булевыми переменными. Их обозначают символами: 0 и 1, или буквами:
Л (ложно) и И (истинно). Множество {И, Л} называется множеством ис-
тинностных значений.
      2) Высказыванием называется языковое предложение, о котором
имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
      Пример: «2 × 2 = 4», «5 — простое число» — это истинные высказы-
вания. «Волга впадает в Черное море» — ложное высказывание.
      Предложения: «x + y = 4» и «Который час?», «Сегодня хорошая
погода», «Город стоит на берегу реки» — не являются высказываниями,
ввиду их недостаточной уточненности.
      3) С помощью союзов «и», «или», «не», из нескольких простых
высказываний можно составить сложное (составное) высказывание.
26

Страницы