Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.4 ТЕОРИЯ РЯДОВ
2.4.1 Чи сло вые ря ды
1) Ес ли чле ны бес ко неч ной чи сло вой по сле до ва тель но сти u
1
, u
2
,...
u
n
... со еди нить зна ком «+», то по лу чит ся вы ра же ние:
u u u
n
1
2
+ + + +K K
или со кра щен но:
u
n
n=
¥
å
1
, на зы вае мое чи сло вым ря дом.
Чис ла u
1
,u
2
,... на зы ва ют ся чле на ми ря да, u
n
— об щим чле ном ря да.
Ко неч ные сум мы
S u u u u
n n k
k
n
= + + + =
=
å
1
2
1
K
на зы ва ют час тич ны ми
сум ма ми ря да: S
1
= u
1
; S
2
= u
1
+ u
2
; S
n
= u
1
+ u
2
+ ... + u
n
Ес ли су ще ст ву ет ко неч ный пре дел по сле до ва тель но сти час тич -
ных сумм:
S S
n
n
=
®¥
lim
, то ряд на зы ва ет ся схо дя щим ся, а чис ло S — сум мой ря -
да. Су ще ст ву ет сум ма толь ко схо дя ще го ся ря да.
Не об хо ди мый при знак схо ди мо сти:
lim
n
n
u
®¥
= 0
При мер:
S
n n
n
=
+
=
¥
å
1
1
1
( )
; пред ста вим дробь
1
1n n( )+
в ви де:
1
1
1 1
1n n n n( ) ( )+
= -
+
,
то гда:
S
n n n n n
n
= - + - + - + +
-
- + -
+
= -
+
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
1
1 1 1
1
1
1
1
K
.
Сле до ва тель но:
lim lim
n
n
n
S
n
®¥ ®¥
= -
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=1
1
1
1
, то есть за дан ный ряд схо -
дит ся и его сум ма рав на 1.
2) Свой ст ва ря дов
а) Схо ди мость или рас хо ди мость ря да не из ме нит ся, ес ли от бро -
сить или до ба вить ко неч ное чис ло чле нов ря да.
б) Ес ли ряд
u
n
å
схо дит ся и его сум ма рав на S, то и ряд
cu
n
å
то же
схо дит ся и его сум ма рав на сS.
в) Ес ли ря ды
u
n
å
и
v
n
å
схо дят ся и их сум мы рав ны со от вет ст -
вен но
S
1
и
S
2
, то и ряд
( )u v
n n
+
å
схо дит ся и его сум ма рав на
S S
1
2
+
.
г) Раз ность двух схо дя щих ся ря дов
u
n
å
и
v
n
å
есть ряд схо дя -
щий ся.
4
         2.4 ТЕОРИЯ РЯДОВ

         2.4.1 Числовые ряды

       1) Если члены бесконечной числовой последовательности u1, u2,...
un... соединить знаком «+», то получится выражение: u1 + u 2 +K+u n +K
                     ¥
или сокращенно: åu n , называемое числовым рядом.
                    n =1

         Числа u1,u2,... называются членами ряда, un — общим членом ряда.
                                                 n
         Конечные суммы S n = u1 + u 2 +K+ u n = åu k называют частичными
                                                k =1

суммами ряда: S1 = u1; S2 = u1 + u2; Sn = u1+ u2 + ... + un
      Если существует конечный предел последовательности частич-
ных сумм:
      S = lim S n , то ряд называется сходящимся, а число S — суммой ря-
          n ®¥
да. Существует сумма только сходящегося ряда.
      Необходимый признак сходимости: lim u n = 0
                                                 n ®¥
                        ¥
                               1                          1
      Пример: S = å                 ; представим дробь         в виде:
                       n =1 n(n + 1)                   n(n +1)
                                  1    1   1
                                      = -       ,
                               n(n +1) n (n +1)
тогда:
               1 1 1 1 1             1    1 1        1        1
      S n = 1 - + - + - +K+             - + -           =1-       .
               2 2 3 3 4          n -1 n n n +1              n +1
                                    æ     1 ö
      Следовательно: lim S n = limç 1 -      ÷ = 1, то есть заданный ряд схо-
                     n ®¥      n ®¥
                                    è   n +1 ø
дится и его сумма равна 1.

      2) Свойства рядов
      а) Сходимость или расходимость ряда не изменится, если отбро-
сить или добавить конечное число членов ряда.
      б) Если ряд åu n сходится и его сумма равна S, то и ряд åcu n тоже
сходится и его сумма равна сS.
      в) Если ряды åu n и å v n сходятся и их суммы равны соответст-
венно S 1 и S 2 , то и ряд å(u n + v n ) сходится и его сумма равна S 1 + S 2 .
      г) Разность двух сходящихся рядов åu n и å v n есть ряд сходя-
щийся.
4

Страницы