Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

всех зна че ний x, для ко то рых функ цио наль ная по сле до ва тель ность схо -
дит ся, на зы ва ет ся об ла стью схо ди мо сти этой по сле до ва тель но сти.
Так как для ка ж до го зна че ния x из [a,b] пре де лом чи сло вой по -
сле до ва тель но сти бу дет чис ло, то на от рез ке [a,b] для по сле до ва тель но -
сти f
n
(x), бу дет су ще ст во вать функ ция f(x), на зы вае мая пре де лом функ -
цио наль ной по сле до ва тель но сти. В этом слу чае го во рят: функ цио наль -
ная по сле до ва тель ность {f
n
(x)} схо дит ся к функ ции f(x).
f x f x
n
n
( ) lim ( )=
®¥
или
f x f x
n
( ) ( )®
.
При ме ры:
а) Рас смот рим по сле до ва тель ность: 1,
x
,
x
2
, ... ,
x
n-1
, ...
lim
,
,
n
n
x
x
x
®¥
-
=
>
=
ì
í
î
1
0 0
1 1
.
При
x = -1
и
x >1
по сле до ва тель ность рас хо дит ся.
Зна чит об ла стью схо ди мо сти яв ля ет ся ин тер вал (–1;1).
б) Рас смот рим по сле до ва тель ность:
e
x-
,
e
x-2
,
e
x-3
...
e
nx-
, ...
lim
,
,
n
nx
e
x
x
®¥
-
=
>
=
ì
í
î
0 0
1 0
.
Об ла стью схо ди мо сти яв ля ет ся со во куп ность не от ри ца тель ных
зна че ний x:
x > 0
Оп ре де ле ние 1: Функ цио наль ная по сле до ва тель ность схо дит ся к
f(x) на от рез ке [a,b], ес ли для лю бо го чис ла
e
и лю бой точ ки x из [a,b] су -
ще ст ву ет но мер
N N x= ( , )e
та кой, что не ра вен ст во
f x f x
n
( ) ( )- < e
вы -
пол ня ет ся при
n N>
.
2) Функ цио наль ным ря дом на зы ва ет ся ряд:
u x u x u x u x
n n
n
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )+ + + =
=
¥
å
K
.
Функ ции u(x) оп ре де ле ны на не ко то ром мно же ст ве M.
u
n
(x) на зы ва ет ся об щим чле ном ря да.
Час тич ны ми сум ма ми ря да на зы ва ют ся функ ции
S x u x
n k
k
n
( ) ( )=
=
å
1
.
6
всех значений x, для которых функциональная последовательность схо-
дится, называется областью сходимости этой последовательности.
       Так как для каждого значения x из [a,b] пределом числовой по-
следовательности будет число, то на отрезке [a,b] для последовательно-
сти fn(x), будет существовать функция f(x), называемая пределом функ-
циональной последовательности. В этом случае говорят: функциональ-
ная последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x).

                       f ( x ) = lim f n ( x ) или f n ( x ) ® f ( x ).
                                n ®¥


      Примеры:
      а) Рассмотрим последовательность: 1, x, x 2 , ... , x n -1 , ...

                                             ì 0, x > 0
                                lim x n -1 = í          .
                                             î 1, x = 1
                                n ®¥



      При x = -1 и x >1 последовательность расходится.
      Значит областью сходимости является интервал (–1;1).
      б) Рассмотрим последовательность: e - x , e -2 x , e -3 x ... e - nx , ...

                                              ì 0, x > 0
                                 lim e - nx = í         .
                                 n ®¥
                                              î 1, x = 0

       Областью сходимости является совокупность неотрицательных
значений x: x > 0
       Определение 1: Функциональная последовательность сходится к
f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e и любой точки x из [a,b] су-
ществует номер N = N (e, x ) такой, что неравенство f ( x ) - f n ( x ) < e вы-
полняется при n > N .

      2) Функциональным рядом называется ряд:
                                                           ¥
                       u1 ( x ) + u 2 ( x )+K+u n ( x ) = åu n ( x ).
                                                          n =1


      Функции u(x) определены на некотором множестве M.
      un(x) называется общим членом ряда.
                                                                               n
      Частичными суммами ряда называются функции S n ( x ) = åu k ( x ).
                                                                              k =1


6

Страницы