Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Функ цио наль ный ряд
u x
n
n
( )
=
¥
å
1
на зы ва ет ся схо дя щим ся при
x x=
0
,
ес ли в этой точ ке схо дит ся по сле до ва тель ность его час тич ных сумм:
S
1
(x
0
), S
2
(x
0
), ... , S
n
(x
0
).
Дру ги ми сло ва ми, функ цио наль ный ряд схо дит ся при
x x=
0
, ес ли
схо дит ся чи сло вой ряд
u x
n
n
( )
0
1=
¥
å
.
Пре дел по сле до ва тель но сти час тич ных сумм на зы ва ет ся сум мой
функ цио наль но го ря да в точ ке x
0
.
Со во куп ность всех зна че ний x для ко то рых схо дит ся функ цио -
наль ный ряд, на зы ва ет ся об ла стью схо ди мо сти это го ря да.
3) Кри те рий Ко ши схо ди мо сти ря да:
Для схо ди мо сти ря да
u x
n
n
( )
=
¥
å
1
на от рез ке [a,b] не об хо ди мо и дос та -
точ но, что бы для лю бо го
e > 0
су ще ст во вал но мер
N ( )e
, та кой, что при
n N>
и лю бом це лом
p > 0
не ра вен ст во
u x u x u x
n
n n p
+
+ +
+ + + <
1
2
( ) ( ) ( )L e
вы пол ня лось бы для всех x от рез ка [a,b].
Для прак ти че ской ра бо ты ис поль зу ют не кри те рий Ко ши, а при -
знак Вей ер шт рас са. Пред ва ри тель но да дим оп ре де ле ние мо жо ри руе мо -
сти ря да :
Оп ре де ле ние 2: Го во рят, что функ цио наль ный ряд
u x
n
n
( )
=
¥
å
1
ма жо ри -
ру ет ся на от рез ке [a,b] чи сло вым ря дом
a
n
n=
å
1
, ес ли не ра вен ст во
u x a
n n
( ) <<
вы пол ня ет ся при лю бом n и для всех зна че ний x от рез ка
[a,b].
4) При знак схо ди мо сти Вей ер шт рас са
Ес ли ряд
u x
n
n
( )
=
¥
å
1
на от рез ке [a,b] ма жо ри ру ет ся чи сло вым схо дя -
щим ся ря дом, то он схо дит ся на этом от рез ке.
5) При знак схо ди мо сти Да лам бе ра
Ес ли су ще ст ву ет пре дел:
lim
u
u
q
n
n
+
=
1
,
7
                                         ¥
       Функциональный ряд åu n ( x ) называется сходящимся при x = x 0 ,
                                     n =1

если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм:
S1(x0), S2(x0), ... , Sn(x0).
       Другими словами, функциональный ряд сходится при x = x 0 , если
                              ¥
сходится числовой ряд åu n ( x 0 ).
                             n =1

     Предел последовательности частичных сумм называется суммой
функционального ряда в точке x0.
     Совокупность всех значений x для которых сходится функцио-
нальный ряд, называется областью сходимости этого ряда.

       3) Критерий Коши сходимости ряда:
                                     ¥
       Для сходимости ряда åu n ( x ) на отрезке [a,b] необходимо и доста-
                                    n =1

точно, чтобы для любого e > 0 существовал номер N (e), такой, что при
n > N и любом целом p > 0 неравенство u n + 1 ( x ) + u n + 2 ( x ) + L + u n + p ( x ) < e
выполнялось бы для всех x отрезка [a,b].
      Для практической работы используют не критерий Коши, а при-
знак Вейерштрасса. Предварительно дадим определение можорируемо-
сти ряда :
                                                                       ¥
       Определение 2: Говорят, что функциональный ряд åu n ( x ) мажори-
                                                                      n =1

руется на отрезке [a,b] числовым рядом åan , если неравенство
                                              n =1
u n ( x ) << an выполняется при любом n и для всех значений x отрезка
[a,b].

       4) Признак сходимости Вейерштрасса
                    ¥
       Если ряд åu n ( x ) на отрезке [a,b] мажорируется числовым сходя-
                   n =1

щимся рядом, то он сходится на этом отрезке.

       5) Признак сходимости Даламбера
       Если существует предел:
                                                   u n +1
                                             lim            = q,
                                                    un

                                                                                         7

Страницы