Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.4.3 Сте пен ные ря ды
1) Сте пен ным ря дом на зы ва ет ся ряд:
( )
a a x b a x b a x b a x b
n
n
n
n
n
0
1
2
2
0
+ - + - + + - + = -
=
¥
å
( ) ( ) ( )K K
(1)
Ес ли
b = 0
, то сте пен ной ряд име ет вид:
a x
n
n
n=
¥
å
0
. (2)
Ряд (1) сво дит ся к (2) под ста нов кой
x b x- = ¢
.
Тео ре ма 3. Сте пен ной ряд мож но по член но ин тег ри ро вать по лю -
бо му от рез ку
[ , ]a b
, при над ле жа ще му ин тер ва лу схо ди мо сти ря да.
При мер: Рас смот рим функ цию
f x x( ) ln( )= +1
. Из вест но, что
ln( )1
1
0
+ =
+
ò
x
dx
x
x
, а
1
1
1 1
2 3
+
= - + - + + - +
x
x x x x
n n
K K( )
;
| |
x < 1
.
То гда:
( )
dx
x
x x x dx
xx
1
1
2 3
00
+
= - + - +
òò
K
или
ln( ) ( )1
2 3 4
1
2 3 4
1
+ = - + - + + - +
+
x x
x x x x
n
n
n
K K
Тео ре ма 4. Сте пен ной ряд в ин тер ва ле схо ди мо сти мож но по член -
но диф фе рен ци ро вать.
При мер: Ес ли
f x a a x a x a x
n
n
( ) = + + + + +
0
1
2
2
K K
, то
f x a a x a x na x
n
n
¢ = + + + + +
-
( )
1
2 3
2 1
2 3 K K
.
След ст вие: Сте пен ной ряд в ин тер ва ле схо ди мо сти мож но по -
членн но диф фе рен ци ро вать лю бое чис ло раз.
2) Ряд Тей ло ра
Пусть
f x( )
яв ля ет ся сум мой сте пен но го ря да:
f x a a x b a x b a x b
n
n
( ) ( ) ( ) ( )= + - + - + + - +
0
1
2
2
K K
По член но диф фе рен ци ру ем его не сколь ко раз:
f x a a x b a x b a x b na x b
n
n
¢ = + - + - + - + + -( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4
1
2 3
2
4
3
K
-
+
1
K
¢¢
= × + × - + × - + + - -f x a a x b a x b n na x b
n
( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 2 3 3 4 1
2 3 4
2
K )
n-
+
2
K
¢¢¢
= × × + × × - + + - - -f x a a x b n n na x b
n
n
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 2 3 4 2 1
3 4
K
-
+
3
K
9
       2.4.3 Степенные ряды

       1) Степенным рядом называется ряд:
                                                                     ¥
                                                                                n
      a0 + a1 ( x - b) + a2 ( x - b) 2 +K+an ( x - b) n +K = åan ( x - b)                     (1)
                                                                    n =0
                                                              ¥
       Если b = 0, то степенной ряд имеет вид: åan x n .                                      (2)
                                                             n =0

       Ряд (1) сводится к (2) подстановкой x - b = x ¢.

     Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по лю-
бому отрезку [a, b], принадлежащему интервалу сходимости ряда.
     Пример: Рассмотрим функцию f ( x ) = ln(1 + x ). Известно, что
                  x
                     dx        1
     ln(1 + x ) = ò       ,а       = 1 - x + x 2 - x 3 +K + (-1) n x n +K; | x| < 1.
                  0
                    1 + x    1 + x
                x           x
                   dx
       Тогда: ò
                  1 + x
                                (
                        = ò 1 - x + x 2 - x 3 + K dx  )
                0         0

или
                                       x2 x3 x4                xn
                    ln(1 + x ) = x -     +   -   +K+(-1) n + 1    +K
                                       2   3   4               n

     Теорема 4. Степенной ряд в интервале сходимости можно почлен-
но дифференцировать.
     Пример: Если f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 +K+an x n +K , то

                       f ¢ ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 +K+nan x n -1 +K .

     Следствие: Степенной ряд в интервале сходимости можно по-
членнно дифференцировать любое число раз.

       2) Ряд Тейлора
       Пусть f ( x ) является суммой степенного ряда:
                 f ( x ) = a0 + a1 ( x - b) + a2 ( x - b) 2 +K+an ( x - b) n +K

       Почленно дифференцируем его несколько раз:
       f ¢ ( x ) = 1a1 + 2a2 ( x - b) + 3a3 ( x - b) 2 + 4a4 ( x - b) 3 +K+nan ( x - b) n -1 +K
       f ¢¢( x ) = 1× 2a2 + 2 × 3a3 ( x - b) + 3 × 4a4 ( x - b) 2 +K+(n -1)nan ( x - b) n - 2 +K
       f ¢¢¢( x ) = 1× 2 × 3a3 + 2 × 3 × 4a4 ( x - b)+K+(n - 2)(n -1)nan ( x - b) n - 3 +K

                                                                                                   9

Страницы