ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f x na n a x b
n
n
n
( )
( ) ( ) ( )= × × × × + × × × × + - +
+
1 2 3 2 3 4 1
1
K K K
От ку да на хо дим, по ло жив
x b= :
a f b
0
= ( )
;
a
f b
1
1
=
¢( )
!
;
a
f b
2
2
=
¢¢
( )
!
;
a
f b
3
3
=
¢¢¢
( )
!
; ...
a
f b
n
n
n
=
( )
( )
!
; ... Та ким
об ра зом:
f x f b
f b
x b
f b
x b
f b
x( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( )
( )
!
(= +
¢
- +
¢¢
- +
¢¢¢
-
1 2 3
2
b)
3
+L
Дан ный ряд на зы ва ет ся ря дом Тей ло ра.
При
b = 0
ряд на зы ва ет ся ря дом Мак ло ре на функ ции
f x( )
:
f x f
f
x
f
x
f
x( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
!
= +
¢
+
¢¢
+
¢¢¢
+0
0
1
0
2
0
3
2 3
K
Тео ре ма 5. Ес ли функ ция
f x( )
в не ко то рой ок ре ст но сти точ ки b
яв ля ет ся сум мой сте пен но го ря да по сте пе ням
( )x b-
, то этот ряд яв ля ет -
ся ря дом Тей ло ра функ ции
f x( )
.
Тео ре ма 6. Ес ли функ ция
f x( )
в не ко то рой ок ре ст но сти точ ки b
раз ла га ет ся в сте пен ной ряд по сте пе ням
( )x b-
, то та кое раз ло же ние
един ст вен но.
Раз ность ме ж ду функ ци ей
f x( )
и ча ст ичной сум мой
S x
n
( )
ря да
Тей ло ра функ ции
f x( )
на зы ва ет ся ос та точ ным чле ном ря да Тей ло ра и
обо зна ча ет ся
R x
n
( )
:
R x f x S x
n n
( ) ( ) ( )= -
;
R x
f b
n
x b
n
n
n
( )
( )
( )!
( )
( )
=
+
-
+
+
1
1
1
.
То есть для то го, что бы ряд Тей ло ра функ ции
f x( )
схо дил ся в не -
ко то ром ин тер ва ле, не об хо ди мо и дос та точ но, что бы в рас смот рен ном
ин тер ва ле стре мил ся к ну лю ос та точ ный член это го ря да.
Та ким об ра зом за да ча раз ло же ния функ ции
f x( )
в сте пен ной ряд
све де на по су ще ст ву к оп ре де ле нию зна че ния x, при ко то ром
R x
n
( ) ® 0
.
3) Фор му ла Тей ло ра для функ ции двух пе ре мен ных:
Пусть функ ция
z f x y= ( , )
име ет в ок ре ст но сти точ ки (х
0
,у
0
) не пре -
рыв ные ча ст ные про из вод ные до (n+1). Да дим х
0
и у
0
при ра ще ние Dх и
Dу и рас смот рим вспо мо га тель ную функ цию:
F t f x t x y t y( ) ( , )= + +
0 0
D D
(3)
10
..............................................
f ( n ) ( x ) = 1× 2 × 3 ×K× nan + 2 × 3 × 4 ×K× (n +1)an + 1 ( x - b)+K
Откуда находим, положив x = b:
f ¢(b) f ¢¢(b) f ¢¢¢(b) f ( n ) (b)
a0 = f (b); a1 = ; a2 = ; a3 = ; ... an = ; ... Таким
1! 2! 3! n!
образом:
f ¢(b) f ¢¢(b) f ¢¢¢(b)
f ( x ) = f (b) + ( x - b) + ( x - b) 2 + ( x - b) 3 +L
1! 2! 3!
Данный ряд называется рядом Тейлора.
При b = 0 ряд называется рядом Маклорена функции f ( x ):
f ¢ (0) f ¢¢(0) 2 f ¢¢¢(0) 3
f ( x ) = f (0) + x+ x + x +K
1! 2! 3!
Теорема 5. Если функция f ( x ) в некоторой окрестности точки b
является суммой степенного ряда по степеням ( x - b), то этот ряд являет-
ся рядом Тейлора функции f ( x ).
Теорема 6. Если функция f ( x ) в некоторой окрестности точки b
разлагается в степенной ряд по степеням ( x - b), то такое разложение
единственно.
Разность между функцией f ( x ) и частичной суммой S n ( x ) ряда
Тейлора функции f ( x ) называется остаточным членом ряда Тейлора и
обозначается Rn ( x ):
f ( n + 1 ) (b)
Rn ( x ) = f ( x ) - S n ( x ); Rn ( x ) = ( x - b) n + 1 .
(n +1)!
То есть для того, чтобы ряд Тейлора функции f ( x ) сходился в не-
котором интервале, необходимо и достаточно, чтобы в рассмотренном
интервале стремился к нулю остаточный член этого ряда.
Таким образом задача разложения функции f ( x ) в степенной ряд
сведена по существу к определению значения x, при котором Rn ( x ) ® 0.
3) Формула Тейлора для функции двух переменных:
Пусть функция z = f ( x , y ) имеет в окрестности точки (х0,у0) непре-
рывные частные производные до (n+1). Дадим х0 и у0 приращение Dх и
Dу и рассмотрим вспомогательную функцию:
F (t ) = f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy ) (3)
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
