Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

то функ цио наль ный ряд схо дит ся при
q < 1
и рас хо дит ся при
q >1
.
Тео ре ма 1: Схо дя щий ся ряд на от рез ке [a,b] мож но по член но ин -
тег ри ро вать, то есть сум ма ин те гра лов схо дит ся к ин те гра лу сумм.
До ка за тель ст во: Пусть f(x) = u
1
(x)+u
2
(x)+...+u
n
(x) =
u x
n
n
( )
=
¥
å
1
S x f x
n
n
( ) ( )
®¥
®
;
lim ( ) ( ) ( )
n
n
a
b
n
n
a
b
a
b
S x dx f x dx u x dx
®¥
=
¥
= =
ò
å
òò
1
(1)
Но ин те грал от сум мы функ ций ра вен сум ме ин те гра лов сла гае -
мых:
[ ]
S x dx u x u x u x d x
u x dx u x
n n
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
ò ò
ò
= + + + =
= +
1
2
1
2
L
) ( )dx u x dx
a
b
n
a
b
ò ò
+ +L
При этом ра вен ст во (1) за пи шет ся так:
lim ( ) ( ) ( ) (
x
a
b
n
a
b
a
b
u x dx u x dx u x dx f x
®¥
+ + +
é
ë
ê
ù
û
ú
=
ò òò
1
2
K )dx
a
b
ò
или так:
u x dx u x dx u x dx f x dx
a
b
a
b
n
a
b
a
b
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
ò ò ò ò
+ + + =K
.
То есть
u x dx u x dx
n
a
b
n
n
n
a
b
( ) ( )
ò
å å
ò
=
¥
=
¥
=
1 1
.
Тео ре ма 2: Ес ли чле ны функ цио наль но го ря да не пре рыв но диф -
фе рен ци руе мы на от рез ке [a,b], а ряд
¢
+
¢
+ +
¢
+u x u x u x
n
1
2
( ) ( ) ( )L K
схо дит -
ся на этом от рез ке, то его сум ма рав на
¢
f x( )
:
¢
=
¢
=
¥
å
f x u x
n
n
( ) ( )
1
или
u x u x
n
n
n
n
( ) ( )
=
¥
=
¥
å å
æ
è
ç
ö
ø
÷
¢
=
¢
1 1
то есть функ цио наль ный ряд мож но по член но диф фе рен ци ро вать.
8
то функциональный ряд сходится при q < 1 и расходится при q >1.

      Теорема 1: Сходящийся ряд на отрезке [a,b] можно почленно ин-
тегрировать, то есть сумма интегралов сходится к интегралу сумм.
                                                                                            ¥
       Доказательство: Пусть f(x) = u1(x)+u2(x)+...+un(x) = åu n ( x )
                                                                                           n =1
                                    b                b                  b ¥
       S n ( x ) ® f ( x ); lim ò S n ( x )dx = ò f ( x )dx = ò åu n ( x )dx                      (1)
        n ®¥                 n ®¥
                                    a                a                  a n =1

       Но интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагае-
мых:
                                        b

                  ò S n ( x)dx =        ò [u ( x) + u
                                             1           2   ( x ) + L + u n ( x )] dx =
                                        a
                                        b                b                           b
                                    = ò u1 ( x )dx + ò u 2 ( x )dx + L + ò u n ( x )dx
                                        a                a                           a


       При этом равенство (1) запишется так:

                     éb             b                b
                                                                   ù b
                lim êò u1 ( x )dx + ò u 2 ( x )dx +K+ò u n ( x )dx ú = ò f ( x )dx
                x ®¥
                     ëa             a                a             û a

или так:
                    b                   b                       b                b

                    ò u1 ( x)dx + ò u 2 ( x)dx +K+ò u n ( x)dx = ò f ( x)dx.
                    a                   a                       a                a


                   ¥ b                      b ¥
       То есть å ò u n ( x )dx = ò åu n ( x )dx .
                  n =1 a                    a n =1


      Теорема 2: Если члены функционального ряда непрерывно диф-
ференцируемы на отрезке [a,b], а ряд u1¢ ( x ) + u 2¢ ( x ) + L + u n¢ ( x ) + K сходит-
ся на этом отрезке, то его сумма равна f ¢( x ):

                                    ¥
                                                                 ¢ ¥
                                                   æ ¥          ö
                        f ¢( x ) = åu n¢ ( x ) или ç åu n ( x ) ÷ = åu n¢ ( x )
                                   n =1            è n =1       ø n =1

то есть функциональный ряд можно почленно дифференцировать.
8

Страницы