Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лем ма:
lim
!
n
n
x
n
®¥
= 0
.
До ка за тель ст во: при ме ним при знак Да лам бе ра к ря ду
1
1 2
2
+ + + + +
x x x
n
n
! ! !
K K
.
Так как
lim
!
( )!
lim
( )
n
n
n
n
x n
n x
x
n
x
®¥
+
®¥
+
=
+
= × = <
1
1
1
1
0 0 1
, то рас смат ри вае -
мый ряд схо дит ся и сле до ва тель но об щий член ря да
x
n
n
!
® 0
, что и тре бо -
ва лось до ка зать.
От сю да:
R x
e
n
x
n
x
n
( )
( )!
=
+
®
+
1
0
1
.
б)
f x x( ) sin=
;
f x x¢ =( ) cos
;
¢¢
= -f x x( ) sin
;
¢¢¢
= -f x x( ) cos
;
f x x
( )
( ) sin
4
=
;
f x x n
n( )
( ) sin= +
æ
è
ç
ö
ø
÷
p
2
; ...
При
x = 0
f ( )0 0=
;
¢
=f ( )0 1
;
¢¢
=f ( )0 0
;
¢¢¢
= -f ( )0 1
;
f
( )
( )
4
0 0=
.
То есть
sin
! !
( )
( )!
x x
x x x
n
n
n
n
= - + - = -
+
+
=
¥
å
3 5 2 1
0
3 5
1
2 1
K
.
в)
f x x( ) cos=
;
cos
! ! !
( )
( )!
x
x x x x
n
n
n
n
= - + - + = -
=
¥
å
1
2 4 6
1
2
2 4 6
0
2
K
.
г) ги пер бо ли че ский си нус:
sh x
e e
x x
=
-
-
2
;
e
x x x
n
x
n
= + + + + +1
1 2
2
! ! !
K K
e
x x x
n
x n
n
-
= - + + + - +1
1 2
1
2
! !
( )
!
K K
sh x x
x x x
n
n
n
= + + + =
+
+
=
¥
å
3 5 2 1
0
3 5 2 1! ! ( )!
K
.
д) ги пер бо ли че ский ко си нус:
ch x
e e
x x
=
+
-
2
;
12
                    xn
        Лемма: lim      = 0.
               n ®¥ n !

        Доказательство: применим признак Даламбера к ряду

                                               x x2       xn
                                          1+     +    +K+    +K .
                                               1! 2 !     n!
                                   n +1
                               x          n!                1
        Так как lim                        n
                                               = x lim           = x × 0 = 0 < 1, то рассматривае-
                      n ®¥
                             (n +1)! x             n ®¥   (n +1)
                                                                                xn
мый ряд сходится и следовательно общий член ряда                                   ® 0, что и требо-
                                                                                n!
валось доказать.
                                     ex
        Отсюда: Rn ( x ) =                 x n + 1 ® 0.
                                   (n +1)!

        б) f ( x ) = sin x ;             f ¢ ( x ) = cos x ;      f ¢¢( x ) = - sin x ; f ¢¢¢( x ) = -cos x ;
                                             æ         p ö
f ( 4 ) ( x ) = sin x ; f ( n ) ( x ) = sinç x + n ÷ ; ...
                                             è        2ø
            При x = 0 f (0) = 0; f ¢(0) = 1; f ¢¢(0) = 0; f ¢¢¢(0) = -1; f ( 4 ) (0) = 0.
                                         x 3 x5               ¥
                                                                            x 2 n +1
            То есть sin x = x -                +      -K = å(-1) n                   .
                                         3! 5!               n =0        (2 n +1)!

                                                 x2 x4 x6        ¥
                                                                         x 2n
        в) f ( x ) = cos x ; cos x = 1 -            +  -   +K = å(-1) n       .
                                                 2 ! 4! 6!      n =0    (2 n)!

                                                              e x - e -x
        г) гиперболический синус: sh x =                                 ;
                                                                  2
                  x x2        xn
        e x =1+      +    +K+    +K
                  1! 2 !      n!
                   x x2                xn
        e -x = 1 - +       +K+(-1) n        +K
                   1! 2 !               n!
                     x 3 x5        ¥
                                         x 2 n +1
        sh x = x +      +    +K = å               .
                      3! 5!       n = 0 (2 n + 1)!

                                                                 e x + e -x
        д) гиперболический косинус: ch x =                                  ;
                                                                     2
12

Страницы