Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d z
dt
z
2
2
2
0+ =w
;
w
2
=
k
m
.
Об щее ре ше ние:
z C t C t= +
1
2
cos sinw w
;
C C
1
2
,
— const.
z( )0 0=
;
C
1
0=
;
z¢ =( )0 m
;
m w= C
2
;
z t A t= = -
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
w
w w
p
sin cos
2
;
A =
m
w
; А — ам пли ту да ко ле ба ний; w — час то та ко ле ба ний;
p
2
— на -
чаль ная фа за.
Та ким об ра зом, гар мо ни че ские ко ле ба ния — пе рио ди че ские. Их
мож но опи сать три го но мет ри че ски ми функ ция ми. Как пра ви ло три го -
но мет ри че ские функ ции име ют пе ри од
2p
.
От ме тим, что функ ция
a t b tcos sinw w+
так же оп ре де ля ет гар мо -
ни че ское ко ле ба ние:
a t b t a b
a
a b
t
b
a b
tcos sin cos sinw w w w+ =
+
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
2 2
2 2 2 2
( )
A tcos w j+
,
где
A a b= +
2 2
;
a
a b
2 2
+
= cosj
;
b
a b
2 2
+
= sin j
.
Ко неч ная сум ма гар мо ни че ских ко ле ба ний пред став ля ет со бой
слож ное ко ле ба ние:
При мер:
( )
S
n
n
n
n
=
-
-
=
¥
å
sin 2 1
2 1
1
.
14
n =1
,
s x
1
= sin
;
                           d2 z                 k
                              2
                                + w2 z = 0; w2 = .
                           dt                   m
     Общее решение: z = C1 cos wt + C 2 sin wt ; C1 , C 2 — const.
     z(0) = 0; C1 = 0;
                               m              æ     pö
     z¢ (0) = m; m = C 2 w; z = sin wt = A cosç wt - ÷;
                               w              è     2ø
           m                                                       p
     A = ; А — амплитуда колебаний; w — частота колебаний; — на-
           w                                                       2
чальная фаза.
     Таким образом, гармонические колебания — периодические. Их
можно описать тригонометрическими функциями. Как правило триго-
нометрические функции имеют период 2p.
     Отметим, что функция acos wt + b sin wt также определяет гармо-
ническое колебание:
                             æ   a                b                  ö
acos wt + b sin wt = a 2 b 2 ç        cos wt +        sin wt         ÷ = A cos( wt + j),
                             ç 2    2                                ÷
                             è a +b            a + b2
                                                2
                                                                     ø
                      a                     b
где A = a 2 + b 2 ;        = cos j;   = sin j.
                a2 + b 2     a2 + b 2
     Конечная сумма гармонических колебаний представляет собой
сложное колебание:
     Пример:
                                      ¥   sin( 2 n -1)
                             Sn = å                      .
                                  n =1      2 n -1




                                                n =1, s1 = sin x ;




14

Страницы