Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Пусть дан три го но мет ри че ский ряд (по ло жим
wt x=
):
( )
f x
a
a nx b nx
n n
n
( ) cos sin= + +
=
¥
å
0
1
2
(1)
На до оп ре де лить ко эф фи ци ен ты это го ря да:
a
k
и
b
k
. Пред по ло -
жим, что ряд (1) рав но мер но схо дит ся на от рез ке
[ ; ]-p p
.
( ) ( )
f x
a
a x b x a x b x
a nx
n
( ) cos sin cos sin
cos
= + + + + + +
+ +
0
1 1
2 2
2
2 2 K
( )
b nx
n
sin +K
По член но ин тег ри ру ем этот ряд на дан ном от рез ке:
f x dx
a
dx a xdx b xdx( ) cos sin
- - - -
ò ò ò ò
= + +
æ
è
ç
ç
p
p
p
p
p
p
p
p
0
1 1
2
ö
ø
÷
÷
+
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ +
+
- -
ò ò
a xdx b xdx
a
n
2 2
2 2cos sin
cos
p
p
p
p
K
nxdx b nxdx a
n
- -
ò ò
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
p
p
p
p
psin
0
То есть
a f x dx
0
1
=
-
ò
p
p
p
( )
.
Здесь мы вос поль зо ва лись сле дую щи ми зна че ния ми ин те гра лов:
cos
,
,
sin
,
,
kxdx
k
kxdx
k
=
=
¹
ì
í
î
=
=
-
ò
2 0
0 0
0 0
0
p
p
p
при
при k
при
при k ¹
ì
í
î
-
ò
0
p
p
Ум но жим (1) на
cosnx
и про ин тег ри ру ем:
f x nxdx
a
xdx a x nxdx b x n( )cos cos cos cos sin cos= + +
-
ò
0
1 1
2
p
p
xdx
---
òòò
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
p
p
p
p
p
p
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
- -
ò ò
a x nxdx b x nxdx
2 2
2 2cos cos sin cos
p
p
p
p
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ =
--
òò
a nxdx b nx nxdx a
n n n
cos sin cos
2
p
p
p
p
pK
.
16
     2) Пусть дан тригонометрический ряд (положим wt = x ):
               a    ¥
      f ( x ) = 0 + å( an cos nx + bn sin nx )                (1)
                2 n =1
     Надо определить коэффициенты этого ряда: ak и bk . Предполо-
жим, что ряд (1) равномерно сходится на отрезке [-p; p.]
                   a0
        f ( x) =      + ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos 2 x + b2 sin 2 x ) +K+
                   2
                      + ( an cos nx + bn sin nx ) +K

     Почленно интегрируем этот ряд на данном отрезке:
       p
                      a0 p      æ p                  p
                                                               ö
          f ( x )dx =      dx + ç a1 cos xdx + b1 sin xdx ÷ +
     ò- p                ò
                      2 -p      ç
                                è -p
                                     ò              ò
                                                    -p
                                                               ÷
                                                               ø
                                     p                 p
                                æ                                 ö
                              + ç a2 ò cos 2 xdx + b2 ò sin 2 xdx ÷+K+
                                ç                                 ÷
                                è -p                   -p         ø
                                æ p                    p
                                                                  ö
                              + ç an ò cos nxdx + bn ò sin nxdx ÷ = pa0
                                ç                                 ÷
                                è -p                  -p          ø
                           p
                        1
     То есть a0 = ò f ( x )dx .
                        p -p
     Здесь мы воспользовались следующими значениями интегралов:
                              p
                                            ì2 p, при k = 0
                              ò cos kxdx = íî0, при k ¹ 0
                              -p
                              p
                                            ì0, при k = 0
                              ò sin kxdx = íî0, при k ¹ 0
                              -p


     Умножим (1) на cos nx и проинтегрируем:
       p
                            a0 p           æ p                      p
                                                                                   ö
          f ( x )cos nxdx =      cos xdx + ç a1 cos x cos nxdx + b1 sin x cos nxdx ÷ +
     ò- p                      ò
                            2 -p           ç
                                           è -p
                                               ò                   ò
                                                                   -p
                                                                                   ÷
                                                                                   ø
                p                     p
         æ                                             ö
     +ç a2 ò cos 2 x cos nxdx + b2 ò sin 2 x cos nxdx ÷ +
         ç                                             ÷
         è -p                         -p               ø
         æ p                     p
                                                 ö
     +ç an ò cos 2 nxdx + bn ò sin nx cos nxdx ÷+K = pan .
         ç                                       ÷
         è -p                   -p               ø
16

Страницы