Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f x dx f t dt f t dt f x dx
a
a a
a
( ) ( ) ( ) ( )= - - = - = -
ò ò òò
-
0
0 0
0
Т.е.
[ ]
f x dx f x f x dx
a
a
a
( ) ( ) ( )= + -
òò
- 0
Ес ли
f x( )
не чет ная функ ция, то
f x f x( ) ( ),- = -
то гда
f x dx
a
a
( ) .=
-
ò
0
Ес ли
f x( )
чет ная функ ция, то
f x f x( ) ( ),- =
то гда
f x dx f x dx
a
a a
( ) ( ) .
-
ò ò
= 2
0
Та ким об ра зом, для чет ной функ ции:
a f x nxdx f x nxdx
b f x n
n
n
= =
=
-
ò ò
1 2
1
0
p p
p
p
p p
( )cos ( )cos
( )sin xdx
-
ò
=
p
p
0
(про из ве де ние двух чет ных и двух не чет ных — чет ная функ ция; а про из -
ве де ние чет ной на не чет ную — не чет ная функ ция).
Т.е. ряд Фу рье для чет ной функ ции:
f x
a
a nx
n
n
( ) cos ;= +
=
¥
å
0
1
2
a f x nxdx
n
=
ò
2
0
p
p
( )cos
Для не чет ной функ ции:
f x b nx
n
n
( ) sin( );=
=
¥
å
1
b f x nx dx
n
=
ò
2
0
p
p
( )sin( )
При мер:
f x( )
( , )
( , )
=
- -
ì
í
î
1 0
1 0
p
p
18
                      0                       0                 a               a

                      ò    f ( x )dx = -ò f (-t )dt = ò f (-t )dt = ò f (- x )dx
                      -a                      a                 0               0

            a                  a
     Т.е.   ò    f ( x )dx = ò [ f ( x ) + f (- x )]dx
            -a                 0

     Если f ( x ) нечетная функция, то f (- x ) = - f ( x ), тогда
                                                     a

                                                     ò f ( x)dx = 0.
                                                     -a


     Если f ( x ) четная функция, то f (- x ) = f ( x ), тогда
                                             a                  a

                                             ò    f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx .
                                             -a                 0


     Таким образом, для четной функции:
                                      p                              p
                                   1                      2
                           an =          f ( x )cos nxdx = ò f ( x )cos nxdx
                                   p -òp                  p0
                                         p
                                   1
                           bn =          f ( x )sin nxdx = 0
                                   p -òp

(произведение двух четных и двух нечетных — четная функция; а произ-
ведение четной на нечетную — нечетная функция).
     Т.е. ряд Фурье для четной функции:
                                                          p
                                   a0 ¥                 2
                      f ( x) =       + åan cos nx ; an = ò f ( x )cos nxdx
                                   2 n =1               p0

     Для нечетной функции:
                                                                      p
                                     ¥
                                                                    2
                       f ( x ) = å bn sin(nx ); bn =                     f ( x )sin(nx )dx
                                    n =1                            p ò0

                       ì -1 (-p,0)
     Пример: f ( x ) = í
                       î 1 (0, p)
18

Страницы