Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Функ ция
f x( )
не чет ная.
f x b nx
n
n
( ) sin( )=
-
¥
å
1
b f x nx dx nx dx
n
nx
n
= = = -
ò ò
2 2 2
0
0 0
p p p
p
p p
( )sin( ) sin( ) cos( )
½
½
½
= -
2
1
n
n
p
p( cos( ));
или
[ ]
b
n
n
n
n
n
n
= - - =
ì
í
ï
î
ï
2
1 1
0
4
p
p
( )
,
,
—четное
—нечетное
.
Та ким об ра зом
f x
x x x
( )
sin sin sin
....= + + +
æ
è
ç
ö
ø
÷
4
1
3
3
5
5p
.
При мер 2:
f x x( ) =
2
— чет ная функ ция.
f x
a
a nx
n
n
( ) cos= +
=
¥
å
0
1
2
a
x dx
0
2
0
2
2
1
3
= =
ò
p
p
p
;
a x nxdx x
nx
n n
x nxdx
n
= =
½
½
½
- =
ò ò
2 2
0
4
2
0
2 2
0
p p
p
p
p p
cos
sin
sin
=
½
½
½
- = -
ò
4
0
4
1
4
2
0
2
x
n
nx
n
n
kxdx
k
k
p
p
p
p
cos
cos ( )
Та ким об ра зом
x
kx
k
k
k
2
2
1
2
3
4 1= + -
=
¥
å
p
( )
cos
.
19
      Функция f ( x ) нечетная.
                     ¥
      f ( x ) = å bn sin(nx )
                 n -1
            p                     p
          2                     2                2        ½p 2
      bn = ò f ( x )sin(nx )dx = ò sin(nx )dx = - cos(nx )½ = (1 - cos(np));
          p0                    p0               np       ½0 np
или
                          ì0, n —четное
          2               ï
      bn =       [       ]
             1 - (-1) n = í 4                   .
          np              ïî np, n — нечетное
                               4 æ sin x sin 3 x sin 5 x       ö
      Таким образом f ( x ) = ç         +       +        +.... ÷ .
                               pè 1         3       5          ø

      Пример 2: f ( x ) = x 2 — четная функция.

           a0 ¥
             + åan cos nx
      f ( x) =
            2 n =1
      a0 1 p 2     p2
        = ò x dx = ;
      2 p0         3
                 p                                p
             2                 2    sin nx½
                                          ½ - 4 x 2 sin nxdx =
                                           p
      an =     ò x 2 cos nxdx = x 2
             p0                p       n ½0 np ò0
                          p
          4 x cos nx½
                    ½ - 4 cos kxdx = (-1) k 4
                     p
         =
          pn n ½0 pn 2 ò0                   k2
                          p2     ¥
                                        cos kx
      Таким образом x 2 =    + 4å(-1) k        .
                          3     k =1      k2
                                                                          19

Страницы