Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f x
a
a nx b nx
n n
n
( ) ( cos sin )= + +
=
¥
å
0
1
2
где:
a
l
f t ntdt
n
l
l
=
-
ò
1
( )cos
n =0 1 2, , ...
b
l
f t ntdt
n
l
l
=
-
ò
1
( )sin
n = 0 1 2, , ...
Пе ре хо дя к пре де лу при
l ® ¥
мож но по ка зать (при мем без до ка -
за тель ст ва), что су ще ст ву ет ин те грал, на зы вае мый ин те гра лом Фу рье:
[ ]
f x a n nx b n nx dn( ) ( )co s ( )sin= +
¥
ò
0
где:
a f t ntdt
n
=
-¥
¥
ò
1
p
( )cos
b f t ntdt
n
=
-¥
¥
ò
1
p
( )sin
.
Двой ным ин те гра лом Фу рье на зы ва ет ся вы ра же ние:
f x dn f t n t x dt( ) ( )co s ( )= -
-¥
¥¥
òò
1
0
p
.
За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты:
Раз ло жить функ цию в ряд Мак ло ре на:
а)
y x= -ln( )1
б)
y x= +ln( )1
в)
y x x= exp( )
г)
y x= -exp( )
2
д)
y x= +1 1( )
е)
y x x= - -exp( ) exp( )
ж)
[ ]
y x x= + -ln ( ) ( )1 1
з)
y x= exp( )
2
и)
y x= +1
к)
y x= -1 1
3
( )
л)
y x
n
= +( )1
21
                                        a0 ¥
                             f ( x) =     + å(an cos nx + bn sin nx )
                                        2 n =1
где:
                                            l
                                        1
                               an =           f (t )cos ntdt n = 0, 1, 2 ...
                                        l -òl
                                            l
                                        1
                               bn =           f (t )sin ntdt n = 0, 1, 2 ...
                                        l -òl

      Переходя к пределу при l ® ¥ можно показать (примем без дока-
зательства), что существует интеграл, называемый интегралом Фурье:
                                        ¥
                             f ( x ) = ò [a(n)cos nx + b(n)sin nx ]dn
                                        0


где:
                                 ¥                              ¥
                              1                       1
                     an =       ò f (t )cos ntdt bn = p -¥ò f (t )sin ntdt .
                              p -¥

       Двойным интегралом Фурье называется выражение:
                                                ¥   ¥
                                            1
                               f ( x) =         dn ò f (t )cos n(t - x )dt .
                                            p ò0 -¥

       Задания для самостоятельной работы:
       Разложить функцию в ряд Маклорена:
       а) y = ln(1 - x )
       б) y = ln(1 + x )
       в) y = x exp( x )
       г) y = exp(- x 2 )
       д) y = 1 (1 + x )
       е) y = exp( x ) - exp(- x )
       ж) y = ln[(1 + x ) (1 - x )]
       з) y = exp( x 2 )
       и) y = 1 + x
       к) y = 1 (1 - x 3 )
       л) y = (1 + x ) n

                                                                               21

Страницы