Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
2.5.1 Ос нов ные по ня тия
Оп ре де ле ние 1: Обык но вен ным диф фе рен ци аль ным урав не ни ем n-го
по ряд ка на зы ва ет ся урав не ние ви да:
F x y y y
n
( , , , ... )
( )
¢ = 0
, где F — функ -
ция; x — не за ви си мая пе ре мен ная; y — ис ко мая функ ция;
y y y
n
¢
¢¢
, ,...,
( )
—
ее про из вод ные.
Ес ли функ ция за ви сит от не сколь ких пе ре мен ных, то урав не ние
на зы ва ет ся урав не ни ем в ча ст ных про из вод ных.
По ря док стар шей про из вод ной на зы ва ет ся по ряд ком диф фе рен ци -
аль но го урав не ния.
Ре ше ни ем диф фе рен ци аль но го урав не ния на зы ва ет ся та кая функ -
ция
y x= j( )
, под ста нов ка ко то рой в урав не ние, пре об ра зу ет его в то ж де -
ст во.
Ре ше ние диф фе рен ци аль но го урав не ния за дан ное не яв но
j( , )x y =0
на зы ва ет ся ин те гра лом это го урав не ния.
Гра фик ре ше ния диф фе рен ци аль но го урав не ния на зы ва ет ся его
ин те граль ной кри вой.
1) Диф фе рен ци аль ные урав не ния пер во го по ряд ка
F x y y( , , )¢ = 0
.
Ес ли диф фе рен ци аль ное урав не ние мож но за пи сать в ви де:
y f x y¢= ( , ),
то оно на зы ва ет ся диф фе рен ци аль ным урав не ни ем 1-го по ряд ка раз ре -
шен ным от но си тель но про из вод ной.
Его мож но за пи сать в диф фе рен ци аль ной фор ме:
P x y dx Q x y dy( , ) ( , )+ = 0
,
или об рат но — раз ре шить от но си тель но про из вод ной:
dy
dx
P x y
Q x y
= -
( , )
( , )
, то есть
y f x y¢= ( , ).
2) Гео мет ри че ский смысл диф фе рен ци аль но го урав не ния
Пусть
y x= j( )
— ре ше ние диф фе рен ци аль но го урав не ния. Гра фи -
ком дан но го ре ше ния яв ля ет ся кри вая, в ка ж дой точ ке ко то рой есть ка -
22
      2.5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
      УРАВНЕНИЯ

      2.5.1 Основные понятия

          Определение 1: Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го
порядка называется уравнение вида: F ( x , y , y ¢ ,...y ( n ) ) = 0, где F — функ-
ция; x — независимая переменная; y — искомая функция; y ¢ , y ¢¢,..., y ( n ) —
ее производные.
          Если функция зависит от нескольких переменных, то уравнение
называется уравнением в частных производных.
          Порядок старшей производной называется порядком дифференци-
ального уравнения.
          Решением дифференциального уравнения называется такая функ-
ция y = j( x ), подстановка которой в уравнение, преобразует его в тожде-
ство.
          Ре ше ние диф фе рен ци аль ного урав не ния за дан ное не яв но
j( x , y ) = 0 называется интегралом этого уравнения.
          График решения дифференциального уравнения называется его
интегральной кривой.

      1) Дифференциальные уравнения первого порядка
                                    F ( x , y , y ¢ ) = 0.
      Если дифференциальное уравнение можно записать в виде:
                                      y ¢ = f ( x , y ),
то оно называется дифференциальным уравнением 1-го порядка разре-
шенным относительно производной.
      Его можно записать в дифференциальной форме:
                             P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0,
или обратно — разрешить относительно производной:
                       dy    P( x, y )
                          =-            , то есть y ¢ = f ( x , y ).
                       dx    Q( x , y )
     2) Геометрический смысл дифференциального уравнения
     Пусть y = j( x ) — решение дифференциального уравнения. Графи-
ком данного решения является кривая, в каждой точке которой есть ка-
22

Страницы