Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние 3: Функ ция , за ви ся щая от про из воль ной по сто ян -
ной с, на зы ва ет ся об щим ре ше ни ем урав не ния в об лас ти D, ес ли она яв -
ля ет ся ре ше ни ем это го урав не ния для лю бо го зна че ния с. Ра вен ст во
j( , , )x y c = 0
не яв но за даю щее об щее ре ше ние, на зы ва ет ся об щим ин те -
гра лом урав не ния .
Оп ре де ле ние 4: Ес ли функ ция f(x,y) удов ле тво ря ет ус ло ви ям тео -
ре мы Ко ши, то че рез ка ж дую точ ку (x,y) про хо дит од на кри вая . Под ста -
вив зна че ния точ ки (x0,y0) в это урав не ние мы най дем со от вет ст вую щие
зна че ния с
0
. Ес ли
y f x c= ( , )
0 0
, то ин те граль ная кри вая бу дет со от вет ст -
во вать урав не нию. Эта кри вая изо бра жа ет ча ст ное ре ше ние урав не ния
y f x y¢= ( , )
со от вет ст вую щее зна че нию с
0
.
3) Ос нов ной за да чей тео рии диф фе рен ци аль ных урав не ний яв ля -
ет ся оты ска ние всех ре ше ний дан но го урав не ния. На хо ж де ние ре ше ний
диф фе рен ци аль ных урав не ний на зы ва ет ся ин тег ри ро ва ни ем этих урав -
не ний.
При мер:
y y¢= 2
диф фе рен ци аль ное урав не ние, раз ре шаю щее ся
от но си тель но про из вод ной. Функ ции
f x y y( , ) = 2
и
¢
=f x y y
y
( , ) 1
—
оп ре де ле ны и не пре рыв ны для
y > 0
. То есть ус ло вия тео ре мы Ко ши вы -
пол не ны в верх ней по лу плос ко сти —
y > 0
. Про ве рим, что в этой об лас ти
функ ция
y x c= -( )
2
яв ля ет ся об щим ре ше ни ем урав не ния.
Дей ст ви тель но:
y x c x c¢= - = -2 2( ); ( )2 y
, то есть
y y¢= 2
. За да вая
лю бые на чаль ные ус ло вия x0, y0 0 мож но по доб рать та кое зна че ние C0,
что
y x c x y
0 0 0
2
0 0
= - = -( ) ;c
0
. Из всей со во куп но сти ре ше ний
y x c= -( )
2
мож но вы де лить ре ше ния
y x x y= - +( )
0 0
2
.
Гео мет ри че ски об щее ре ше ние в верх ней по лу плос ко сти — это
се мей ст во кри вых вет вей па ра бол
y x c= -( )
2
или
y x c= -
. Ка ж дая из
этих вет вей изо бра жа ет ча ст ное ре ше ние, для на чаль ных ус ло вий (x
0
,y
0
).
Ес ли мы к об лас ти D до ба вим ее гра ни цу
y ³ 0
, то к об ще му ре ше нию до -
бав ля ет ся ре ше ние
y = 0
, ко то рое ни при ка ких зна че ни ях C не по лу ча ет -
ся из со от но ше ния
y x c= -( )
2
, то есть в об лас ти
y ³ 0
функ ция
y x c= -( )
2
не яв ля ет ся об щим ре ше ни ем ее на до «скле ить» с ре ше ни ем
y = 0
.
Об щее ре ше ние:
y
x C
x C
x C
=
-
ì
í
î
<
³
0
0
2
0
0
,
( ) ,
24
          Определение 3: Функция , зависящая от произвольной постоян-
ной с, называется общим решением уравнения в области D, если она яв-
ляется решением этого уравнения для любого значения с. Равенство
j( x , y ,c) = 0 неявно задающее общее решение, называется общим инте-
гралом уравнения .

          Определение 4: Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям тео-
ремы Коши, то через каждую точку (x,y) проходит одна кривая . Подста-
вив значения точки (x0,y0) в это уравнение мы найдем соответствующие
значения с0. Если y = f ( x 0 ,c 0 ), то интегральная кривая будет соответст-
вовать уравнению. Эта кривая изображает частное решение уравнения
y ¢ = f ( x , y ) соответствующее значению с0.

      3) Основной задачей теории дифференциальных уравнений явля-
ется отыскание всех решений данного уравнения. Нахождение решений
дифференциальных уравнений называется интегрированием этих урав-
нений.
      Пример: y ¢ = 2 y дифференциальное уравнение, разрешающееся
относительно производной. Функции f ( x , y ) = 2 y и f y¢ ( x , y ) = 1    y —
определены и непрерывны для y > 0. То есть условия теоремы Коши вы-
полнены в верхней полуплоскости — y > 0. Проверим, что в этой области
функция y = ( x - c) 2 является общим решением уравнения.
     Действительно: y ¢ = 2( x - c); 2 y = 2( x - c), то есть y ¢ = 2 y . Задавая
любые начальные условия x0, y0 0 можно подобрать такое значение C0,
что y 0 = ( x 0 - c 0 ) 2 ;c 0 = x 0 - y 0 . Из всей совокупности реше ний
y = ( x - c) 2 можно выделить решения y = ( x - x 0 + y 0 ) 2 .
       Геометрически общее решение в верхней полуплоскости — это
семейство кривых ветвей парабол y = ( x - c) 2 или y = x - c. Каждая из
этих ветвей изображает частное решение, для начальных условий (x0,y0).
Если мы к области D добавим ее границу y ³ 0, то к общему решению до-
бавляется решение y = 0, которое ни при каких значениях C не получает-
ся из соотношения y = ( x - c) 2 , то есть в области y ³ 0 функция y = ( x - c) 2
не является общим решением ее надо «склеить» с решением y = 0.
       Общее решение:
                               ì      0        , x < C0
                            y =í
                               î ( x - C0 )2   , x ³ C0

24

Страницы