Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Раз де ля ем пе ре мен ные:
dy
y
xdx
2
1+
=
, ин тег ри ру ем:
arctg y
x
C= +
2
2
— об щий ин те грал.
y
x
C
x
C= + - < + <tg
2
2
2
2
2
; p p
.
Мож но за дать на чаль ные ус ло вия x
0
, y
0
. Оп ре де лим C
0
:
arct g arct gy
x
C C y
x
0
2
0 0 0
0
2
2 2
= + = -;
Ча ст ное ре ше ние:
arct g arct gy
x
y
x
= + -
2
0
0
2
2 2
или
y
x
y
x
= + -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
tg arctg
2
0
0
2
2 2
3) Од но род ные урав не ния
Функ ция f(x,y) на зы ва ет ся од но род ной n-го из ме ре ния, ес ли для лю -
бо го t име ет ме сто то ж де ст во:
f tx ty t f x y
n
( , ) ( , )=
При мер:
f x y x x y( , ) = +
3 2
3
— од но род ная функ ция 3-го из ме ре -
ния:
f tx ty tx tx ty t x x y t f x y( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= + = + =
3 2 3 3 2 3
3 3
.
Свой ст ва од но род ных функ ций:
а) Сум ма од но род ных функ ций оди на ко во го из ме ре ния есть од -
но род ная функ ция то го же из ме ре ния.
б) Про из ве де ние од но род ных функ ций есть од но род ная функ ция,
из ме ре ние ко то рой рав но сум ме из ме ре ний со мно жи те лей.
в) Ча ст ное од но род ных функ ций есть од но род ная функ ция. Ее
из ме ре ние рав но раз но сти из ме ре ний де ли мо го и де ли те ля.
Оп ре де ле ние 5: Диф фе рен ци аль ное урав не ние на зы ва ет ся од но род -
ным, ес ли его пра вая часть f(x,y) есть од но род ная функ ция ну ле во го из -
ме ре ния.
26
                                             dy
      Разделяем переменные:                       = xdx , интегрируем:
                                           y 2 +1
                  x2
      arctg y =      + C — общий интеграл.
                  2
                                   x             x2
                          y = tg     + C; -p 2 <    + C < p 2.
                                   2             2
      Можно задать начальные условия x0, y0. Определим C0:
                                      x2                          x2
                      arctg y 0 =        + C 0 ; C 0 = arctg y 0 - 0
                                      2                            2
      Частное решение:
                                             x2              x2
                               arctg y =        + arctg y 0 - 0
                                             2                2
или
                                      æ x2              x2 ö
                               y = tg ç    + arctg y 0 - 0 ÷
                                      ç 2                2 ÷ø
                                      è

       3) Однородные уравнения
       Функция f(x,y) называется однородной n-го измерения, если для лю-
бого t имеет место тождество: f (tx ,ty ) = t n f ( x , y )
       Пример: f ( x , y ) = x 3 + 3 x 2 y — однородная функция 3-го измере-
ния:
            f (tx ,ty ) = (tx ) 3 + 3(tx ) 2 (ty ) = t 3 ( x 3 + 3 x 2 y ) = t 3 f ( x , y ).
     Свойства однородных функций:
     а) Сумма однородных функций одинакового измерения есть од-
нородная функция того же измерения.
     б) Произведение однородных функций есть однородная функция,
измерение которой равно сумме измерений сомножителей.
     в) Частное однородных функций есть однородная функция. Ее
измерение равно разности измерений делимого и делителя.

      Определение 5: Дифференциальное уравнение называется однород-
ным, если его правая часть f(x,y) есть однородная функция нулевого из-
мерения.
26

Страницы