Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.5.2 Не ко то рые ин тег ри руе мые диф фе рен ци аль ные
урав не ния 1-го по ряд ка
1) Урав не ния ви да
y f x¢= ( )
.
Эти урав не ния лег ко ин тег ри ру ют ся
dy f x dx= ( )
;
y f x dx C= +
ò
( )
,
то есть все кри вые по лу ча ют ся из од ной
y f x dx=
ò
( )
сдви гом па рал лель -
но оси OY.
При мер:
¢
=y x3
2
;
y f x y x= =( , ) 3
2
— не пре рыв на в про ме жут ке
-¥ < < +¥x
.
Об щее ре ше ние:
y x C= +
3
.
Ча ст ное ре ше ние при
x
0
1=
;
y
0
3=
.
Най дем C
0
:
3 1
0
= +C
;
C
0
2=
, то есть
y x= +
3
2
.
2) Урав не ние с раз де ляю щи ми ся пе ре мен ны ми
Диф фе рен ци аль ное урав не ние
y f x y¢= ( , )
на зы ва ет ся урав не ни ем
с раз де ляю щи ми ся пе ре мен ны ми, ес ли его мож но за пи сать в ви де:
y x y¢= j j( ), ( )
(1)
Пусть
j( )x
и
j( )y
— не пре рыв ны на ин тер ва ле
a x b< <
;
c y d< <
и
j( )y ¹ 0
. Ум но жая обе час ти (1) на dx, и де ля на
j( )y
, по лу чим:
dy
y
x dx
j
j
( )
( )=
То есть пе ре мен ные раз де ля ют ся.
Пусть
Y( )
( )
y
dy
y
=
ò
j
;
F( ) ( )x x dx=
ò
j
.
Ес ли y есть ре ше ние урав не ния (1), то
d y d xY F( ) ( )= 2 2
; а зна чит
Y F( ) ( )y x C= +
.
Та ким об ра зом
dy
y
x dx C
j
j
( )
( )
ò ò
= +
(2)
Фор му ла (2) — это об щий ин те грал урав не ния (1).
При мер:
y x y x x y y¢= + = = + + ¹( ); ( ) ; ;
2 2 2
1 1 1 0j j(y)
25
      2.5.2 Некоторые интегрируемые дифференциальные
      уравнения 1-го порядка

      1) Уравнения вида y ¢ = f ( x ).
      Эти уравнения легко интегрируются dy = f ( x )dx ; y = ò f ( x )dx + C,
то есть все кривые получаются из одной y = ò f ( x )dx сдвигом параллель-
но оси OY.

      Пример:
      y ¢ = 3 x 2 ; y = f ( x , y ) = 3 x 2 — непрерывна в промежутке -¥ < x < +¥.
      Общее решение: y = x 3 + C.
      Частное решение при x 0 = 1; y 0 = 3.
      Найдем C0: 3 = 1 +C 0 ;
      C 0 = 2, то есть y = x 3 + 2.

      2) Уравнение с разделяющимися переменными
      Дифференциальное уравнение y ¢ = f ( x , y ) называется уравнением
с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:
      y ¢ = j( x ), j(y )                                                      (1)
        Пусть j( x ) и j(y ) — непрерывны на интервале a < x < b; c < y < d и
j(y ) ¹ 0. Умножая обе части (1) на dx, и деля на j(y ), получим:
                                     dy
                                          = j( x )dx
                                    j(y )

       То есть переменные разделяются.
                           dy
       Пусть Y(y ) = ò         ; F( x ) = ò j( x )dx .
                          j(y )
       Если y есть решение уравнения (1), то dY(y ) = 2dF(2 x ); а значит
Y(y ) = F( x ) + C.
       Таким образом
          dy
       ò j(y ) = ò j( x)dx + C                                         (2)

       Формула (2) — это общий интеграл уравнения (1).

      Пример: y ¢ = x (y 2 +1); j( x ) = x ; j(y) = y 2 +1; y 2 +1 ¹ 0

                                                                                25

Страницы