Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

са тель ная, уг ло вой ко эф фи ци ент ко то рой ра вен
¢
y
, то есть f(x,y). Та ким
об ра зом, урав не ние
y f x y¢= ( , )
да ет связь ме ж ду ко ор ди на та ми точ ки и
уг ло вым ко эф фи ци ен том ка са тель ной в этой точ ке. По стро ив в ка ж дой
точ ке эти ка са тель ные, мы по лу чим, так на зы вае мое «по ле на прав ле -
ний».
Зна чит, за дать урав не ние
y f x y¢= ( , )
— это за дать по ле на прав ле -
ний. Ре шить это урав не ние — зна чит най ти кри вую, ка са тель ная к ко то -
рой в ка ж дой точ ке сов па ла бы с на прав ле ни ем по ля в этой точ ке. Та ких
кри вых бу дет мно го.
При мер:
y x y¢= +
. По стро им изо кли ны по ля. Изо кли ной по ля на -
зы ва ет ся гео мет ри че ское ме сто то чек, в ко то рых на прав ле ние ка са тель -
ных оди на ко во.
Пусть a — угол на кло на ка са тель ной к оси ОХ:
tga = ¢y
. Изо кли на
в точ ках, где
a = 0
, то есть
y¢= =tg0 0
, име ет урав не ние
x y+ = 0
. Это пря -
мая про хо дя щая че рез на ча ло ко ор ди нат. Изо кли не в точ ках, где
a p= =6
3
3
, со от вет ст ву ет урав не ние
x y+ =
3
3
и так да лее.
Что бы вы де лить оп ре де лен ные ре ше ния не об хо ди мо за дать на -
чаль ные ус ло вия — зна че ния y
0
при не ко то ром зна че нии x
0
, то есть па ру
чи сел (x
0
,y
0
).
Оп ре де ле ние 2: Ре ше ние урав не ния
y f x y¢= ( , )
удов ле тво ря ет на -
чаль ным ус ло ви ям (x
0
,y
0
), ес ли , то есть гра фик это го ре ше ния про хо дит
че рез точ ку (x
0
,y
0
).
За да ча оты ска ния ре ше ния диф фе рен ци аль но го урав не ния,
удов ле тво ряю ще го его на чаль ным ус ло ви ям (x
0
,y
0
), на зы ва ет ся за да чей
Ко ши.
Су ще ст ву ет ли ре ше ние за да чи Ко ши и един ст вен ное ли это ре -
ше ние? На этот во прос да ет от вет тео ре ма Ко ши.
Тео ре ма Ко ши: Ес ли функ ция f(x,y) не п ре рыв на в не ко то рой об -
лас ти D и име ет в этой об лас ти не пре рыв ную ча ст ную про из вод ную по ,
то ка ко ва бы ни бы ла точ ка (x
0
,y
0
) об лас ти D, су ще ст ву ет и при том един -
ст вен ное ре ше ние урав не ния , оп ре де лен ное в не ко то ром ин тер ва ле,
со дер жа щем точ ку x
0
, и при ни маю щие при
x x=
0
зна че ние
j( )x y
0 0
=
.
Гео мет ри че ски это оз на ча ет, что че рез ка ж дую внут рен нюю точ ку
(x
0
,y
0
) об лас ти D про хо дит един ст вен ная ин те граль ная кри вая урав не -
ния . Все го ре ше ний — бес чис лен ное мно же ст во.
23
сательная, угловой коэффициент которой равен y ¢, то есть f(x,y). Таким
образом, уравнение y ¢ = f ( x , y ) дает связь между координатами точки и
угловым коэффициентом касательной в этой точке. Построив в каждой
точке эти касательные, мы получим, так называемое «поле направле-
ний».
      Значит, задать уравнение y ¢ = f ( x , y ) — это задать поле направле-
ний. Решить это уравнение — значит найти кривую, касательная к кото-
рой в каждой точке совпала бы с направлением поля в этой точке. Таких
кривых будет много.
      Пример: y ¢ = x + y . Построим изоклины поля. Изоклиной поля на-
зывается геометрическое место точек, в которых направление касатель-
ных одинаково.
      Пусть a — угол наклона касательной к оси ОХ: tga = y ¢. Изоклина
в точках, где a = 0, то есть y¢ = tg0 = 0, имеет уравнение x + y = 0. Это пря-
мая проходящая через начало координат. Изоклине в точках, где
           3                                        3
a =p6=       , соответствует уравнение x + y =        и так далее.
          3                                        3
      Чтобы выделить определенные решения необходимо задать на-
чальные условия — значения y0 при некотором значении x0, то есть пару
чисел (x0,y0).

       Определение 2: Решение уравнения y ¢ = f ( x , y ) удовлетворяет на-
чальным условиям (x0,y0), если , то есть график этого решения проходит
через точку (x0,y0).
       Задача отыскания решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего его начальным условиям (x0,y0), называется задачей
Коши.
       Существует ли решение задачи Коши и единственное ли это ре-
шение? На этот вопрос дает ответ теорема Коши.
       Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна в некоторой об-
ласти D и имеет в этой области непрерывную частную производную по ,
то какова бы ни была точка (x0,y0) области D, существует и притом един-
ственное решение уравнения , определенное в некотором интервале,
содержащем точку x0, и принимающие при x = x 0 значение j( x 0 ) = y 0 .
       Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку
(x0,y0) области D проходит единственная интегральная кривая уравне-
ния . Всего решений — бесчисленное множество.
                                                                           23

Страницы