Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Од но род ным бу дет урав не ние
P x y dx Q x y dy( , ) ( , )+ = 0
, ес ли P(x,y) и
Q(x,y) — од но род ные функ ции оди на ко во го из ме ре ния.
Для од но род ной функ ции ну ле во го из ме ре ния, для лю бо го t:
f tx ty f x y( , ) ( , )=
.
В ча ст но сти, при
t x=1
f x y f y x( , ) ( , )= 1
, то есть
f x y
y
x
( , ) =
æ
è
ç
ö
ø
÷
j
и
y
y
x
x¢=
æ
è
ç
ö
ø
÷
¹j , 0
.
Вво дя под ста нов ку y = ux, по лу чим урав не ние:
u x u u¢ + = j( )
или
u
u u
x
¢=
-j( )
.
Это урав не ние с раз де ляю щи ми ся пе ре мен ны ми, от но си тель но
не из вест ной функ ции u:
du
u u
dx
x
C
j( )-
= +
ò ò
.
При мер:
y
y
x
y
x
¢= +
æ
è
ç
ö
ø
÷
ln 1
— од но род ное урав не ние.
По ла га ем:
y
x
u y ux y u x u= = ¢= ¢ +; ;
— под став ля ем в урав не ние.
u x u u u u x u u¢ + = + ¢ =(ln ); ln1
— это урав не ние с раз де ляю щи ми ся
пе ре мен ны ми:
du
u u
dx
xln
=
— ин тег ри ру ем.
du
u u
dx
x
C
ln
ò ò
= +
;
ln ln( ) ln lnu x C= +
,
C ¹ 0
.
lnu cx=
;
u e
cx
=
,
u y x=
;
y x e
cx
=
;
y xe
cx
=
При раз де ле нии пе ре мен ных мы по те ря ли од но ре ше ние:
u =1
, то
есть
y x=
. Его мож но по лу чить из об ще го ре ше ния при
C = 0
, то есть C —
лю бое чис ло.
Ино гда вы год но вос поль зо вать ся под ста нов кой
x uy=
, ко то рая
так же при во дит к раз де ле нию пе ре мен ных. Ес ли
j( )u u=
, то урав не ние
27
      Однородным будет уравнение P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0, если P(x,y) и
Q(x,y) — однородные функции одинакового измерения.
      Для однородной функции нулевого измерения, для любого t:
                                    f (tx ,ty ) = f ( x , y ).
                                                                                  æyö
        В частности, при t =1 x f ( x , y ) = f (1, y x ), то есть f ( x , y ) = jç ÷и
                                                                                  èxø
       æyö
y ¢ = jç ÷, x ¹ 0.
       èxø
        Вводя подстановку y = ux, получим уравнение:
                                                             j(u) - u
                         u¢ x + u = j(u) или u¢ =                     .
                                                                x
     Это уравнение с разделяющимися переменными, относительно
неизвестной функции u:
                                       du            dx
                                  ò j(u) - u = ò        + C.
                                                      x

     Пример:
          yæ y        ö
     y ¢ = ç ln +1 ÷ — однородное уравнение.
          xè x ø
                   y
     Полагаем: = u; y = ux ; y ¢ = u¢ x + u — подставляем в уравнение.
                   x
     u¢ x + u = u(ln u +1); u¢ x = u ln u — это уравнение с разделяющимися
переменными:
       du     dx
            =     — интегрируем.
     u ln u x
                    du          dx
                 ò u ln u = ò      + C; ln ln(u) = ln x + ln C , C ¹ 0.
                                 x
                  lnu = cx ; u = e cx , u = y x ; y x = e cx ; y = xe cx

       При разделении переменных мы потеряли одно решение: u =1, то
есть y = x . Его можно получить из общего решения при C = 0, то есть C —
любое число.
       Иногда выгодно воспользоваться подстановкой x = uy , которая
также приводит к разделению переменных. Если j(u) = u, то уравнение

                                                                                   27

Страницы