Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

име ет вид
y
y
x
¢=
, то есть яв ля ет ся урав не ни ем с раз де ляю щи ми ся пе ре -
мен ны ми.
4) Ли ней ные урав не ния
Диф фе рен ци аль ное урав не ние
y f x y¢= ( , )
на зы ва ет ся ли ней ным,
ес ли оно ли ней но от но си тель но функ ции y и y':
y P x y Q x¢+ =( ) ( )
(3)
При ме ры:
y x y x¢+ =
2 5
;
y x e y
x
¢+ + = 0
;
y y¢=
.
Оп ре де ле ние 6:
а) Ес ли
Q x( ) ¹0
, то диф фе рен ци аль ное урав не ние на зы ва ет ся ли -
ней ным не од но род ным урав не ни ем или ли ней ным урав не ни ем с пра вой
ча стью.
б) Ес ли
Q x( ) = 0
, то урав не ние на зы ва ет ся ли ней ным од но род ным
или урав не ни ем без пра вой час ти.
Итак, рас смот рим урав не ние:
y P x y Q x¢+ =( ) ( )
а) од но род ное урав не ние, со от вет ст вую щее за дан но му не од но -
род но му:
y P x y¢+ =( ) 0
(4)
Это урав не ние с раз де ляю щи ми ся пе ре мен ны ми:
dy
y
P x dx= - ( )
;
ln| | ( ) ln| |y P x dx C= - +
ò
y Ce C
P x
=
ò
¹
- ( )
;
dx
0
. (5)
По это му уте ря но ре ше ние
y = 0
. Его мож но по лу чить счи тая что
C = 0
. То есть (5) — об щее ре ше ние урав не ния (4) при лю бом C. Для на -
хо ж де ния ре ше ния не од но род но го урав не ния (3) при ме ним ме тод ва -
риа ции про из воль ной по сто ян ной, то есть бу дем ис кать ре ше ние урав не -
ния (3) в том же ви де , что и ре ше ние од но род но го урав не ния. Но C счи -
та ем не по сто ян ной, а функ ци ей от x:
C C x= ( )
. Эта функ ция долж на
быть та кой, что бы при под ста нов ке ре ше ния
y C x e
P x dx
=
ò
-
( )
( )
и функ ции
y C x e C x P x e
P x dx P x dx
¢= ¢
ò
-
ò
- -
( ) ( ) ( )
( ) ( )
в урав не ние (3) оно об ра ща лось в то -
ж де ст во. Под став ля ем и по лу ча ем для C(x) урав не ние:
C x e Q x
P x dx
¢
ò
=
-
( ) ( )
( )
— ин тег ри ру ем и на хо дим:
28
               y
имеет вид y ¢ = , то есть является уравнением с разделяющимися пере-
               x
менными.

      4) Линейные уравнения
      Дифференциальное уравнение y ¢ = f ( x , y ) называется линейным,
если оно линейно относительно функции y и y':
        y ¢+P ( x )y = Q( x )                                                               (3)
                                2     5             x
        Примеры: y ¢+ x y = x ; y ¢+ x + e y = 0; y ¢ = y .

      Определение 6:
      а) Если Q( x ) ¹ 0, то дифференциальное уравнение называется ли-
нейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой
частью.
      б) Если Q( x ) = 0, то уравнение называется линейным однородным
или уравнением без правой части.
      Итак, рассмотрим уравнение: y ¢+P ( x )y = Q( x )
      а) однородное уравнение, соответствующее заданному неодно-
родному:
        y ¢+P ( x )y = 0                                                                    (4)
        Это уравнение с разделяющимися переменными:
        dy
           = -P ( x )dx ; ln| y | = -ò P ( x )dx + ln| C |
         y
              - P ( x ) dx
        y = Ce ò           ; C ¹ 0.                                                         (5)
       Поэтому утеряно решение y = 0. Его можно получить считая что
C = 0. То есть (5) — общее решение уравнения (4) при любом C. Для на-
хождения решения неоднородного уравнения (3) применим метод ва-
риации произвольной постоянной, то есть будем искать решение уравне-
ния (3) в том же виде , что и решение однородного уравнения. Но C счи-
таем не постоянной, а функцией от x: C = C ( x ). Эта функция должна
                                                      - P ( x ) dx
быть такой, чтобы при подстановке решения y = C ( x )e ò           и функции
                 - P ( x ) dx                  - P ( x ) dx
y ¢ = C ¢ ( x )e ò            - C ( x )P ( x )e ò           в уравнение (3) оно обращалось в то-
ждество. Подставляем и получаем для C(x) уравнение:
                    - P ( x ) dx
          C ¢ ( x )e ò           = Q( x ) — интегрируем и находим:

28

Страницы