Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 1: Урав не ние Бер нул ли:
y P x y Q x y¢+ =( ) ( )
Под ста нов ка
z y=
-1 a
;
z y y¢= - ¢
-
( )1 a
a
— под став ля ем в урав не ние:
y y P x y Q x
- -
¢+ =
a a
( ) ( )
1
:
1
1-
¢+ =
a
z P x z Q x( ) ( )
или
z P x z Q x¢+ - = -( ) ( ) ( ) ( )1 1a a
— это ли ней ное урав не ние.
При мер 2: Урав не ние Бер нул ли:
y xy x y¢+ =
3 3
( )a = 3
Под ста нов ка:
y z
-
=
2
;
z xz x¢- = -2 2
3
.
Ре ше ние:
z x Ce
x
= + +
2
1
; по те ря но ре ше ние
y = 0
при де ле нии на y.
Зна чит об щее ре ше ние:
y x Ce
y
x-
= + +
=
ì
í
î
2 2
1
0
6) Урав не ния в пол ных диф фе рен циа лах
Рас смот рим урав не ние:
M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0
Ес ли ле вая часть это го урав не ния пред став ля ет со бой пол ный
диф фе рен ци ал
M x y dx N x y d y d u x y( , ) ( , ) ( , )+ =
, то это урав не ние на зы ва -
ет ся урав не ни ем в пол ных диф фе рен циа лах.
Пусть M(x,y), N(x,y) и их ча ст ные про из вод ные
M x y
y
( , )
и
N x y
x
( , )
не пре рыв ны в не ко то рой об лас ти D. То гда не об хо ди мым и дос та точ -
ным ус ло ви ем су ще ст во ва ния урав не ния в пол ных диф фе рен циа лах
яв ля ет ся:
=
M x y
y
N x y
x
( , ) ( , )
Итак, ес ли du(x,y) = 0, то u(x,y) = c яв ля ет ся об щим ин те гра лом.
При мер 1:
[ ] [ ]
cos( ) cos( )x y dx x y dy+ + + + - =2 5 0
.
Это урав не ние в пол ных диф фе рен циа лах, так как оно рав но
d x y x y[sin( ) ]+ + - =2 5 0
Об щий ин те грал это го урав не ния:
sin( )x y x y+ + - =2 5 0
.
При мер 2:
( ) ( )3 10 5 1
2 2
x xy dx x dy+ + - = 0
Обо зна чим:
( )3 10
2
x xy M+ =
;
( )5 1
2
x N- =
.
30
          Пример 1: Уравнение Бернулли: y ¢+P ( x )y = Q( x )y
          Подстановка z = y 1 - a ; z¢ = (1 - a )y - a y ¢ — подставляем в уравнение:
y - a y ¢+P ( x )y 1 - a = Q( x ):
           1
                 z¢+P ( x ) z = Q( x ) или z¢+(1 - a )P ( x ) z = (1 - a )Q( x )
          1- a
          — это линейное уравнение.

       Пример 2: Уравнение Бернулли: y ¢+ xy = x 3 y 3 (a = 3)
       Подстановка: y -2 = z; z¢-2 xz = -2 x 3 .
       Решение: z = x 2 +1 + Ce x ; потеряно решение y = 0 при делении на y.
                                   ì y -2 = x 2 +1 + Ce x
       Значит общее решение: í
                                   î        y =0

      6) Уравнения в полных дифференциалах
      Рассмотрим уравнение: M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0
      Если левая часть этого уравнения представляет собой полный
дифференциал M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = du( x , y ), то это уравнение называ-
ется уравнением в полных дифференциалах.
                                                                  ¶M ( x , y ) ¶N ( x , y )
      Пусть M(x,y), N(x,y) и их частные производные                           и
                                                                    ¶y           ¶x
непрерывны в некоторой области D. Тогда необходимым и достаточ-
ным условием существования уравнения в полных дифференциалах
является:
                                  ¶M ( x , y ) ¶N ( x , y )
                                              =
                                    ¶y           ¶x

       Итак, если du(x,y) = 0, то u(x,y) = c является общим интегралом.

       Пример 1: [cos( x + y ) + 2]dx + [cos( x + y ) - 5]dy = 0.
       Это уравнение в полных дифференциалах, так как оно равно
                               d[sin( x + y ) + 2 x - 5y ] = 0
       Общий интеграл этого уравнения: sin( x + y ) + 2 x - 5y = 0.

       Пример 2: (3 x 2 +10 xy )dx + (5 x 2 -1)dy = 0
       Обозначим: (3 x 2 +10 xy ) = M ; (5 x 2 -1) = N .

30

Страницы