Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Так как
¢
=y
dy
dx
, то
dy y dx=
¢
и
¢
=y t
;
dx f t dt=
¢
( )
, зна чит
dy t f t dt= ¢( )
,
от ку да
y t f t dt C= ¢ +
ò
( )
.
Итак:
x f t
y t f t dt C
=
= ¢ +
ì
í
ï
î
ï
ò
( )
( )
— па ра мет ри че ская фор ма урав не ния
x f y=
¢
( )
.
Ис клю чив из этой сис те мы t, мы по лу чим яв ное ре ше ние
y x= j( )
.
При мер:
x y e
y
= ¢+
¢
, то есть
x f y=
¢
( )
. При мем
y t¢=
, то гда
x t e
t
= +
;
dx e dt
t
= +( )1
;
dy y dx=
¢
,
то есть
dy t e dt
t
= +( )1
. Ин тег ри ру ем:
y t e dt C
t
te e C
t t t
= + + = + - +
ò
( )1
2
2
.
Та ким об ра зом:
x t e
y t e t C
t
t
= +
= + - +
ì
í
î
2
2 1( )
2) Урав не ния, не со дер жа щие яв но не за ви си мой пе ре мен ной
F y y( , )
¢
= 0
.
Раз ре ша ем урав не ние от но си тель но y:
y f y=
¢
( )
. Пусть
y x= j( )
—
ре ше ние. Вы бе рем па ра метр
t y=
¢
, то гда:
y f t= ( )
;
dy f t dt= ¢( )
;
dx
dy
t
f t
t
dt= =
¢( )
, то есть
x
f t
t
dt C=
¢
+
ò
( )
.
Та ким об ра зом, ре ше ние в па ра мет ри че ском ви де:
x
f t
t
dt C
y f t
=
¢
+
=
ì
í
ï
î
ï
ò
( )
( )
При мер:
y y y= ¢+ ¢ln
.
Обо зна чим:
y t¢=
, то гда:
y t t= + ln
;
dy
t
dt= +
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1
;
dx
dy
t t
t
dt= = +
æ
è
ç
ö
ø
÷
1 1
2
32
                         dy
        Так как y ¢ =       , то dy = y ¢dx и y ¢ = t; dx = f ¢(t )dt , значит dy = t f ¢(t )dt ,
                         dx
откуда y = ò t f ¢ (t )dt + C.

             ïì       x = f (t )
       Итак: í                         — параметрическая форма уравнения
              ïî y = ò t f ¢(t )dt + C
x = f (y ¢).
       Исключив из этой системы t, мы получим явное решение y = j( x ).
       Пример: x = y ¢+e y ¢ , то есть x = f (y ¢). Примем y ¢ = t , тогда

                          x = t + e t ; dx = (1 + e t )dt ; dy = y ¢dx ,

то есть dy = t (1 + e t )dt . Интегрируем:

                                                      t2
                         y = ò t (1 + e t )dt + C =      + te t - e t + C.
                                                      2

                       ì        x =t +et
        Таким образом: í      2      t
                       î y = t 2 + e (t -1) + C

     2) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
     F (y , y ¢) = 0.
     Разрешаем уравнение относительно y: y = f (y ¢). Пусть y = j( x ) —
решение. Выберем параметр t = y ¢, тогда: y = f (t ); dy = f ¢(t )dt ;
                            dy f ¢(t )                    f ¢ (t )
                     dx =      =       dt , то есть x = ò          dt + C.
                             t   t                          t

        Таким образом, решение в параметрическом виде:

                                     ì      f ¢ (t )
                                     ïx = ò          dt + C
                                     í        t
                                     ïî   y = f (t )

        Пример: y = y ¢+ ln y ¢.
        Обозначим: y ¢ = t , тогда:

                                       æ 1ö             dy æ 1 1 ö
                   y = t + ln t ; dy = ç 1 + ÷dt ; dx =    = ç + ÷dt
                                       è tø              t èt t2 ø

32

Страницы